Injectivité

[percydev]

Bonjour, je besoin de votre aide svp
Soient A, B deux sous-ensembles de E , f une application définie par
f : P(E) ;)P (A) × P(B )
f (X ) = (X ;) A, X ;) B )
1. Démontrer que f est injective ssi A U B = E
2. Démontrer que f est surjective ssi A ;) B = ø
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que f soit bijective et déterminer f -1

[Monsieur23]

Aloha,

Qu'as-tu fais, où bloques-tu ?

[percydev]

j'ai du mal à débuter, je suis un débutant

[Monsieur23]

Pour la première question :

C'est un "si et seulement si", donc il faut montrer deux implications.

On commence par montrer que "f injective" => A u B = E.
On suppose donc que f est injective, et on montre que A u B = E.
C'est une égalité d'ensemble, on montre donc deux inclusions.
On commence par montrer A u B inclu dans E : c'est trivial.
Ensuite, on montre que E est inclu dans A u B.
On prend donc x dans E, et on veut montrer que x est dans A u B.

Qu'est-ce qu'on peut faire ensuite ?

[percydev]

f(X)=f(Y)<=>(XnA)=Y A )et(XnB)=(YnB)

X=XnE=(XnA)u(XnB)
de même Y=(YnA) (YnB)
donc f(X)=f(Y)=>X=Y donc f est injective,voila ce que j'ai fais par ma compréhension

[Monsieur23]

Ok, mais ça c'est l'autre sens. Pour l'instant, on a supposé que f est injective, et on veut montrer que A u B = E.

[percydev]

il faut montrer ensuite que f est non injective

[mathelot]

on a le droit de remplacer par des valeurs comme

[chan79]

Pour montrer que: si f est injective alors , on peut montrer la contraposée.
S'il existait a dans E n'appartenant ni à A, ni à B, on aurait, en posant X={a}


or

ce qui prouve que f n'est pas injective