Inégalité sur la valutaion p-adique

[jonses]

Bonjour,

J'essaye de faire un exercice portant sur la valuation p-adique de , mais je bloque depuis un moment.


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Soit un nombre premier et un entier naturel non nul

Je dois montrer que


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J'ai essayé d'utiliser la formule de Legendre, et d'utiliser l'inégalité définissant la partie entière, mais j'aboutis pas au résultat (l'encadrement obtenu est pas assez fin à mon avis)

Du coup, j'ai essayé de partir sur la décomposition en produit de facteur premier de , mais là non plus j'aboutis pas.

Je pensais essayer de trouver des encadrements assez fins sur (pour ), puis utiliser encore la formule de Legendre, mais je reste bloqué.



Si quelqu'un peut m'aider svp.
je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Ben314]

Salut,
Dans le produit il y a clairement termes divisible par , termes divisible par , . . . termes divisible par .
Donc le nombre de termes de valuation p-adique (i.e. divisible par mais pas par ) est d'où :

On a donc
et

[jonses]

Merci !

En fait j'étais trop fin dans mes calculs, j'ai pas pensé à faire des encadrements plus simples, du coup je voyais pas ce qui était évident sur mon brouillon. :mur: