Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à vale

[legeniedesalpages]

Bonjour,

je cherche à montrer cette inégalité:

Soit un intervalle un intervalle non-vide dans et , deux fonctions continues sur , dérivables sur l'intérieur de . Si on a pour tout , alors .

Je ne vois pas trop l'astuce, j'ai essayé d'appliquer le thm des accroissements finis un peu à toutes les sauces mais je n'aboutis sur rien.

Merci pour votre aide.

[XENSECP]

Hum...En fait tu décomposes par composante et applique l'IAF sur chacune des composantes qui sont des fonctions I->R qui vérifie les hypothèses de l'IAF classique :)

[legeniedesalpages]

désolé je viens de corriger, est à valeurs dans .

[XENSECP]

oui c'est mieux ^^
tu dis simplement que

et puis tu applique au l'IAF classique

[legeniedesalpages]

si j'applique ainsi l'IAF classique, je peux affirmer que pour tout entier ,
il existe tel que ,

l'IAF donne

mais que choisir comme ? je prends ?

Je ne vois pas non plus comment passer de à sans connaître l'expression de la norme.

[Joker62]

Haileau ;)
C'est beaucoup plus subtil que ça en fait.

Je te donne les grandes lignes vite fait.
On se ramène à l'étude sur [0;1]
On pose A_e = { x € [0;1] | ||g(x)-g(0)|| - ( h(x) - h(0 ) - ex <= e }

On remarque que A_e est non vide ; Par continuïté on sait qu'il existe un n>0 tel que [0;n] soit contenu dans A_e
En remarquant que A_e est fermé et en posant a_e son sup, on a que a_e € A_e
Il suffit donc de prouver que a_e = 1

Tu supposes que a_e < 1 et en bossant avec les formules de Taylor tu aboutiras à une contradiction

Voili Voilou, c'est beaucoup plus subtile quand même :o

[legeniedesalpages]

Merci joker, je vais étudier ton plan en détail.
ça me semblait bizarre qu'on utilise les fonctions composantes de vu que dans cet article de wiki, la dimension de l'espace d'arrivée importe peu: http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_des_accroissements_finis_pour_les_fonctions_%C3%A0_valeurs_vectorielles .

[Joker62]

Oui on est pas forcément dans R^n donc bon parler de composante c'était un peu dangereux.
Si t'as des soucis pour la fin demande donc j'ai encore le cours juste à côté de moi lol :D

[legeniedesalpages]

J'écris la formule de Taylor-Young:



lorsque , .

Si j'ai bien saisi, il faudrait montrer que

[Joker62]

Donc en gros, tu appliques Taylor sur g et sur h en a_e on obtient pour h très petit

g(a_e + h) - g(a_e) = h.g'(a_e) + he1(h)
h(a_e + h) - h(a_e) = h.h'(a_e) + he2(h)

avec h assez petit pour que ||e1(h)|| < e/2 et |e2(h)| < e/2

On a || g(a_e + h) - g(a_e) || <= h ||g'(a_e)|| + he/2 <= h.h'(a_e) + he/2
On remplace h.h'(a_e) par la valeur trouver au dessus

on a donc
<= h(a_e+h) - h(a_e) - he2(h) + he/2

Maintenant e/2 - e2(h) < e d'où
|| g(a_e + h) - g(a_e) || <= h(a_e + h) - h(a_e) + he

Maintenant tu utilises le fait que a_e € A_e
Tu fais une vulgaire inégalité triangulaire et tu trouveras que a_e + h € A_e ce qui est absurde

Voili Voilou
J'file au lavage ;)

[legeniedesalpages]

ok tout est clair maintenant, merci beaucoup.