Inegalite des accroissements finis

[ayla8101]

je suis en 2eme année de prepa hec et bloque sur cet enoncé :
"en utilisant l'IAF, montrer que 2/e²(r-1)2(1 - (e-2)/(e²-2))"
Voila on parle ici d'une suite u definie par u(o)=1 et pour tout n, par u(n+1)=2(1-e(-un)) , sachant que 1Merci d'avance :stupid_in

[panoramix]

Salut,

j'ai jeté un coup d'oeil à ton exo, mais je ne trouve pas la solution. Si tu veux que quelqu'un réponde à ton problème qui n'a pas l'air facile, en tout cas sous cette forme, je pense qu'il faut que tu lèves les ambiguïtés sur l'énoncé : mettre un maximum de parenthèses et préciser si le "e" est celui de l'exponentielle ou non. Si c'est le cas, mets bien en évidence par e^3 pour dire e au cube.

Exercice difficile + problème mal posé = pas de réponse

bye

[ayla8101]

Je précise donc mon énoncé! Il s'agit bien du e=exponentielle. pour que vous puissiez mieux comprendre, je vous mets l'énoncé en entier.

On considere la suite u=(un) definie par u0=1 et pour tout entier n, un+1=2(1-exp(-un)).
=>etudier rapidement la fonction f(x)=2(1-exp(-x))
=>monter que pour tout n, 1=>montrer que la suite u est convergente puis determiner sa limite
=>en utilisant l'IAF, montrer que (2/exp²)*(r-1)<(r-u1)<(2/exp)*(r-1) et en deduire r>2(1-(exp-2/exp²-2))

Voila sachant que javais en question preliminaire montrer que l'equation 2-x-2exp(-x)=0 admet deux solutions reelles dont l'une notée r est comprise entre 1 et 2.

aidez moi svp!!!!

[ayla8101]

Une petite réponse svp!

[panoramix]

Bon, je crois que j'ai trouvé une partie de la réponse. La question initiale portait uniquement sur l'IAF, je considère donc que les questions précédentes sont résolues correctement.

Pour montrer la convergence de la suite, on a montré que la valeur absolue de la dérivée de f est inférieure ou égale à k=2*exp(-1) sur [1;2] qui est strictement inférieur à 1
On sait aussi que pour tout n, 1<= un <= 2 donc u0 et r vérifient cet encadrement.
On applique l'IAF sur ces valeurs, on obtient :

abs ( (f(r)-f(u0))/(r-u0) ) <= 2*exp(-1)
soit abs ( (r - u1)/(r-u0) ) <= 2*exp(-1)

En déroulant le calcul, on obtient (en précisant que r-1 >= 0)
2(r-1)exp(-2)<=abs(r-u1)<=2(r-1)exp(-1)

Il est évident que le membre de gauche est >=0 donc on peut retirer la valeur absolue

Pour déterminer le minorant de r, j'utilise l'inégalité de gauche et en simplifiant les calculs, j'arrive à

r>= 2 (1-(1-e)/(exp(2)-2))


Ce n'est pas exactement ce qu'il y a dans l'énocé, mais je suppose que tu as maintenant assez d'infos pour finir l'exo

Bonne chance pour la suite