Inégalité a démontrer

par **andalous** » 20 Sep 2006, 21:05

bonjour tout le monde voici mon exo

Prouver que pour tout réel t de ] 0 ; 1 [ il existe un unique Ot de ] 0 ; 1 [ tel que
ln( (1-t) / (1+t) ) = -2t / (1- t²(Ot)²)

En déduire linégalité suivante, valable pour t positif :
(exp2t)(1-t)/(1+t) < (ou egal) 1

il me semble que je suis mal parti car j'ai dérivé ln( (1-t) / (1+t) ) + 2t / (1- t²(Ot)²) mais je n'arrive pas à conclure pour le signe de la dérivé. A mon avis il doit y avoir une autre technique si vous pouvez m'aider merci

par **andalous** » 21 Sep 2006, 16:13

salut personne ne peut m'aider, on m'a parlé d'un théoreme des accroissements finis mais on ne l'a pas encore apris donc je ne pense pas que je dois faire cela

par **abel** » 21 Sep 2006, 16:34

Tu voulais pas remplacer tous les t par Ot dans ton égalité ?
Sinon on isole Ot et on l'exprime en fonction de t vu qu'il est censé dépendre de t.

par **Aspx** » 22 Sep 2006, 19:45

Chaud. J'ai du mal à voir apparaitre la manière de sortir le Ot. Ca donne des trucs trop foireux et vu qu'on est amené à dériver j'imagine ça va pas être très commode.

Genre :

par **andalous** » 22 Sep 2006, 21:50

oui je trouve pareil. j'ai essayé de dérivée (Ot)² je trouve un truk ou il est impossible de conclure qur le signe si vous pouvez m'aider merci

par **tize** » 22 Sep 2006, 23:17

Ba c'est super, l'unicité vient de la formule et il ne reste plus qu'à démontrer que :

en changeant le sens de l'inégalité puisque

par **Aspx** » 23 Sep 2006, 10:34

Oui en gros le piège c'est qu'il faut utiliser argth. Je rappelle que :

Avec l'aide de tize et ce petit changement ça devrait plus t'aider :we:

par **Aspx** » 23 Sep 2006, 11:34

Par contre je ne comprends vraiment mais vraiment pas à quoi ça sert de montrer ça pour la question deux. Le résultat est assez immédiat en dérivant :
Soit

telle que

Alors

est dérivable et

on a :

Donc

est décroissante or

et

Le problême est réglé et

:soupir2:

par **andalous** » 23 Sep 2006, 17:53

merci tize et aspx mais je n'ai pas compris pourquoi l'unicité de Ot est dans la formule ??

par **Aspx** » 23 Sep 2006, 18:19

Il y a unicité de l'écriture car quand tu arrives à

tu es amené à prendre la racine et là il y a deux Ot qui vérifient cela. Un positif, l'autre négatif.
On met de côté celui qui est négatif, donc il existe un unique Ot positif qui vérifie l'égalité de départ.
Ensuite on va prouver qu'il est particulièrement dans ]0;1[
J'espère avoir été clair :euh:

par **andalous** » 23 Sep 2006, 18:38

oui tres clair merci!

par **Aspx** » 23 Sep 2006, 18:50

Et tu es arrivé sinon pour après ? Montrer que c'est dans ]0;1[ ?

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