Inégalité de Cauchy

[mehdi-128]

Bonsoir, A est un ensemble qui vérifie : pour tout entier naturel non nul,





Précédemment j'ai montré que 1 appartient à A, que pour tout entier naturel non nul, si n appartient à A alors 2n appartient à A.

J'aimerai prouver que si : n+1 appartient à A alors n appartient à A mais c'est là que je bloque!

Je pars de :



C'est surtout la partie gauche de l'inégalité qui me gêne.

Merci d'avance.

[mehdi-128]

Personne n'a une idée ?

[benekire2]

Prend un cas particulier! ! bonne chance!

[Olympus]

Salut !

Supposons que l'inégalité est vraie pour .

Donc

En particulier, si on met , on obtient :



D'où le résultat .

[mehdi-128]

Salut !

Supposons que l'inégalité est vraie pour .

Donc

En particulier, si on met , on obtient :



D'où le résultat .

Merci beaucoup mais il y a un truc que je comprends pas. Pourquoi à t-on :

[Olympus]

Merci beaucoup mais il y a un truc que je comprends pas. Pourquoi à t-on :

On ne l'a pas, je l'ai imposé . Car si l'inégalité est vraie pour tout (n+1)-uplet, alors quelque soit le choix de mes variables, elle devra le rester ( cf. ton quantificateur universel au début ) .

[mehdi-128]

On ne l'a pas, je l'ai imposé . Car si l'inégalité est vraie pour tout (n+1)-uplet, alors quelque soit le choix de mes variables, elle devra le rester ( cf. ton quantificateur universel au début ) .

Ah d'accord je comprend mieux merci bien vu :we:

[arnaud32]

si tu poses et que tu utilises la convexite de la fonction exp tu trouves que

[Olympus]

@arnaud32 : je crois que le but de l'exercice était plutôt de découvrir la récurrence de Cauchy et non de prouver AM-GM en elle-même ^^

Sinon, y a une autre preuve très élémentaire et largement niveau 1ère ( pas d'exponentielles, juste de la dérivation+récurrence simple ) :

On veut montrer que .



Pour n=1 c'est très facile à vérifier .

On suppose que c'est vrai pour un certain .

On pose

On dérive :

On cherche où est-ce la dérivée s'annule :

Ainsi, atteint son minimum en .

Donc