Inégalité de Cauchy schwarz

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sinderella
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Inégalité de Cauchy schwarz

par sinderella » 03 Nov 2008, 13:02

Bonjour à tous , vous devez tous connaitre l'inégalité de cauchy schwarz, L'inégalité s'énonce de la façon suivante :

Pour tout x et y éléments d'un espace préhilbertien réel ou complexe

Les deux membres sont égaux si et seulement si x et y sont linéairement dépendants.

Le problème c'est que je n'arrive pas à faire la démonstration , j'ai étais voir sur wikipédia mais je ne comprend pas la démo, quelqu'un peut-il m'aider ?



acoustica
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par acoustica » 03 Nov 2008, 13:05

sinderella a écrit:Bonjour à tous , vous devez tous connaitre l'inégalité de cauchy schwarz, L'inégalité s'énonce de la façon suivante :

Pour tout x et y éléments d'un espace préhilbertien réel ou complexe

Les deux membres sont égaux si et seulement si x et y sont linéairement dépendants.

Le problème c'est que je n'arrive pas à faire la démonstration , j'ai étais voir sur wikipédia mais je ne comprend pas la démo, quelqu'un peut-il m'aider ?

Cette inégalité traduit le fait que ;);)vec(u).vec(v););)^2 ;);)u;);)^2*;);)v;);)^2.
L'égalité n'a lieu que dans un cas bien précis: la colinéarité de vec(u) et de vec(v).

_-Gaara-_
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par _-Gaara-_ » 03 Nov 2008, 13:19

u.v = ||u|| x ||v|| x cos(u,v)

donc |u.v| = ||u|| x ||v|| x |cos(u,v)| et donc le cas d'égalité si et seulement si :we:

Joker62
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par Joker62 » 03 Nov 2008, 14:17

La démonstration de wiki est propre je trouve.
On trouve un polynôme du second degrés qui est toujours positif ou nul.
Il a donc une ou aucune racine.
Ce qui veut dire que son discriminant est négatif ou nul.

Y'est où le blocus ?

COTLOD
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par COTLOD » 03 Nov 2008, 14:20

Bonjour,
Dans la démonstration dans wikipedia, on se propose de développer :
[CENTER][/CENTER]
car en effet pour tout vecteur on a
[CENTER] [/CENTER]
On obtient un polynome en t de degré 2 qui admet au plus une racine réelle, son discriminant est donc négatif ou nul.
C'est l'expression de ce discriminant négatif ou nul qui donne l'inégalité

_-Gaara-_
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par _-Gaara-_ » 03 Nov 2008, 14:43

c'est quoi cette histoire de discriminant ?

COTLOD
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par COTLOD » 03 Nov 2008, 15:10

Voir [url]http://fr.wikipedia.org/wiki/Inégalité_de_Cauchy-Schwarz[/url]

_-Gaara-_
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par _-Gaara-_ » 03 Nov 2008, 15:16

Ah okay merci je vois ;)
je n'ai pas encore fait ce côté de la démo en cours =)

 

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