Image et noyau en somme directe

par **jeje56** » 20 Oct 2020, 11:51

Bonjour à tous,
E est un EV de dimension finie.
Il s'agit de montrer l'équivalence

où + est directe.
Pour

par le théorème du rang.
Reste à montrer

:
0 appartient à l'intersection puisque celle-ci est un SEV ;
Si

, alors il existe

tel que

;
Or

donc

.
Ma question : je ne suis pas sûr de l'équivalence

... Qu'en pensez-vous ?
Une idée pour montrer

par exemple ?
Merci !

par **GaBuZoMeu** » 20 Oct 2020, 13:00

Bonjour,

Tu as raison de ne pas être sûr, parce que cette équivalence est fausse.
La condition (2) dit simplement que pour tout

de

, il existe

de

tel que

.

Un petit conseil : pour montrer

, il me paraît plus astucieux de vérifier que

(somme pas directe).
La somme directe se code en LaTeX par \oplus

.