Image d'un intervalle

[mehdi-128]

Bonsoir,

Soit f la fonction définie par :

Je veux calculer : .

Quelle est la méthode ?

Je sais que : mais je sais pas comment le déterminer.

[Lostounet]

Salut,
Comme toujours si tu ne vois pas d'astuce...tu peux étudier les variations de f sur R en calculant la dérivée de f.

Ici, la difficulté éventuelle pourrait être la valeur absolue (la fonction est-elle bien définie sur R? Est-elle dérivable sur R?).

On peut éventuellement échapper à ces questions en constatant que f(-x)=-f(x) la fonction est donc impaire et il suffit de l'étudier pour x>=0.
La limite vaut clairement 1 en + l'infini.. la fonction sur cet intervalle se réécrit x/(1+x) ce qui permet facilement de l'étudier et de déduire toutes ses variations puis essayer de conclure sur les valeurs prises par f(x).

[mehdi-128]

Merci pour la réponse !

Sur
Je trouve :
f est strictement croissante sur avec et elle tend vers 1 en plus l'infini.

Mais comment savoir si ça donne : ou ?

[capitaine nuggets]

Salut !

Autre méthode : comme dit précédemment par Lostounet, est impaire donc on peut se restreindre à . Pour tout :



Cela revient à dire que . Or on connaît les variations de la fonction sur : l'image par cette fonction de l'intervalle est donc (j'abrège) .

En conséquence, puisque est impaire, on a .

[capitaine nuggets]

Salut !

Merci pour la réponse !

Sur
Je trouve :
f est strictement croissante sur avec et elle tend vers 1 en plus l'infini.

Mais comment savoir si ça donne : ou ?

D'après ce que tu as dis : est strictement croissante sur et donc pour tout , .

[capitaine nuggets]

Autre méthode : comme dit précédemment par Lostounet, est impaire donc on peut se restreindre à . Pour tout :



Cela revient à dire que . Or on connaît les variations de la fonction sur : l'image par cette fonction de l'intervalle est donc (j'abrège) .

En conséquence, puisque est impaire, on a .

[aviateur]

Bonjour
@medhi En considérant cette fonction on voit qu'elle s'exprime avec la valeurs absolue. Et tout le monde sait que la fonction valeurs absolue n'est pas dérivable en x=0.
Alors il est naturel de poser des questions sur cette fonction telle que
Est-elle lipschitzienne, contractante, strictement contractante?
Dérivable en x=0. Si oui est-elle de classe C^1 sur R, C^2....
Admet-elle un développement limité en x=0, à quel ordre..?
Soit (u_n) une suite définie par le relation étudier son comportement en fonction de
Visiblement f admet une fonction réciproque g. Préciser g (domaine de définition, régularité , représentation graphique,...)

[pascal16]

version collège : je trace f , je trouve -1<f(x)<1 soit ]-1;1[ (l'intervalle est normalement niveau seconde)
qu'est-ce qu'on se complique la vie ensuite.

[Rdvn]

Bonjour,
Si on n'a pas pensé à l'astuce exposée par Lostounet "fonction impaire" il y a toujours la méthode classique
(et souvent applicable ) : se débarrasser de la valeur absolue pour étudier au cas par cas .
Ici c'est spécialement simple :
pour x< ou = 0, |x| = - x, donc f(x) = ...
pour x>ou=0, |x| = x, donc f(x) = ...
Cordialement
Rdvn

[mehdi-128]

@Captain

J'ai pas trop compris votre f(x-1)-1 ...

Moi j'ai fait plus simple : on a montré sur que :

Or

Donc sur : soit

Ainsi sur :

Finalement :

[mehdi-128]

Bonjour
@medhi En considérant cette fonction on voit qu'elle s'exprime avec la valeurs absolue. Et tout le monde sait que la fonction valeurs absolue n'est pas dérivable en x=0.
Alors il est naturel de poser des questions sur cette fonction telle que
Est-elle lipschitzienne, contractante, strictement contractante?
Dérivable en x=0. Si oui est-elle de classe C^1 sur R, C^2....
Admet-elle un développement limité en x=0, à quel ordre..?
Soit (u_n) une suite définie par le relation étudier son comportement en fonction de
Visiblement f admet une fonction réciproque g. Préciser g (domaine de définition, régularité , représentation graphique,...)

Y a plein de choses que j'ai pas encore vu comme les DL, le chapitre sur dérivation etc...

[aviateur]

Je ne comprends pas. Il me semble que tu as dit sur un forum que tu prépares le Capes de math
et ici dans mes questions on dirait que tu as un niveau de terminale ou de L1.
Et puis je crois que tu as posé des questions sur les suites, les DL, sur les fonctions lipschitziennes...
Finalement c'est quoi ton niveau?

[mehdi-128]

Salut Aviateur.

Etudier seul après 10 ans d'arrêt n'est pas évident. Surtout que mon livre est truffé d'erreurs et de coquilles, je m'embrouille plus que je ne progresse. Et y a trop de compléments hors programme qui me sont inutiles et qui me dispersent pour rien.

En gros, pour l'instant j'ai pas réellement de niveau par contre je suis solide en calcul (début de Sup quoi) mais je viens de commander un livre sérieux je crois et j'espère progresser vite en travaillant dessus tous les jours.
J'intègre MPSI Tout en Un 5ème édition 2018 de Deschamps et Moulin.

Après j'ai fait les 8 premières questions du CAPES de maths sujet 1 2018 ça vole pas haut, je résous la majorité des questions assez facilement. J'ai du bloquer sur 2 questions sur 8.