[géométrie affine] homothéties et translations

[legeniedesalpages]

Bonjour,

je bloque sur cet exo:

1) Justifier qu'une translation est affine et montrer qu'une application affine est une translation si et seulement si sa partie linéaire est l'identité.

2) Soit un point et un réel non nul. L'homothétie de centre et de rapport est l'application définie par:[CENTER][/CENTER]
Montrer que est affine.

3) Soit l'ensemble des homothéties et des translations d'un espace affine donné. Montrer que est un groupe pour la composition des applications affines.

4) Montrer qu'une application affine bijective appartient à si et seulement si, pour toute droite affine , est une droite parallèle à .

Je bloque à la 3, pour montrer la stabilité de la composition dans .
Par exemple si dans un espace affine , je prends une homothétie et une translation ,
pour tout point de j'ai


là je ne vois pas quelle translation ou homothétie il s'agit.

Dans l'autre sens je rencontre le même problème.

pour tout point de j'ai
.


Merci pour votre aide.

[MacManus]

Bonjour

3) et 4)

Il s'agit de l'ensemble des homothéties-translations (ou dilatation)
A défaut de te donner une réponse personnelle, je peux te donner ce lien qui ma foi me semble intéressant : http://books.google.fr/books?id=3gZkWHnhOZoC&pg=PA140&lpg=PA140&dq=groupe+homoth%C3%A9tie+translation&source=web&ots=b1gcnKUoI0&sig=c7lqvoEBK9E_tMCO_E20vYlvjbk&hl=fr#PPA137,M1

NB : regarde en particulier les pages 129...132, 136 et 140

[nonam]

Bonjour.
Une idée pour chercher :
Il est clair d'après la forme de que ce n'est pas une translation. On cherche donc à montrer que c'est une homothétie. En voyant le coefficient devant , on peut supposer que le rapport de l'homothétie cherchée va être . Reste à trouver le centre.
On peut se douter qu'il va être de la forme .
En résolvant, on trouve k en fonction de et il ne reste plus qu'à vérifier.
De même dans l'autre sens.

[Maxmau]

Bj

question 3
Il est clair que les dilatations vectorielles (applications de la forme x ----> ;)x où ;) scalaire non nul) constituent un sous-groupe ;) du groupe linéaire.
D l'ensemble des homothéties et des translations de l’espace affine est l’image réciproque de ;) par le morphisme du groupe affine sur le groupe linéaire qui à une transformation affine associe sa partie linéaire.
D est donc un sous-groupe du groupe affine

[legeniedesalpages]

ok je vois mieux, merci pour vos réponses je passe à la 4. :)

[legeniedesalpages]

Bj

question 3
Il est clair que les dilatations vectorielles (applications de la forme x ----> x où scalaire non nul) constituent un sous-groupe du groupe linéaire.
D l'ensemble des homothéties et des translations de l’espace affine est l’image réciproque de par le morphisme du groupe affine sur le groupe linéaire qui à une transformation affine associe sa partie linéaire.
D est donc un sous-groupe du groupe affine

pour revenir à cette question, si on note ce morphisme de groupes, j'ai du mal à voir pourquoi :mur:

[legeniedesalpages]

Bon je crois que j'ai trouvé finalement:

Si , il existe tel que



Soient . On a


Donc

[legeniedesalpages]

Pour la dernière question:

4) Montrer qu'une application affine bijective appartient à si et seulement si, pour toute droite affine , est une droite parallèle à .

Voilà ce que j'ai fais pour l'implication directe:

Soit une droite affine,

[CENTER] où ,
[/CENTER]

étant un sous-espace vectoriel de de dimension 1.

On a .

D'où , pour un certain qui est inclus ou inclut ,

de plus est bijective donc ces deux espaces ont même dimension et cette inclusion est en fait une égalité.

Par contre je ne vois pas comment résoudre la réciproque :hein:

[yos]

Salut.
Pour le sens direct tu peux aussi écrire "il est clair que..." (ça fait mieux).
Pour l'autre sens, que dire d'une application linéaire u telle que u(x) colinéaire à x pour tout x ?

[Maxmau]

Bon je crois que j'ai trouvé finalement:

Si , il existe tel que



Soient . On a


Donc

Bj OK
On peut simplifier
Si il existe non nul tel que
f ( M) = B + OM ( OM = vecteur OM) où B=f(O)
Si =1 f est une translation
Si différent de 1 , f admet un point fixe A (on résout M = B + OM)
et alors : f(M) = A + AM . Conc : h est une homothétie de centre A et de rapport

Remarque : une transformation affine admet un point fixe si = 1 n’est pas valeur propre de sa direction

[legeniedesalpages]

merci à vous, je pense en avoir terminé sur cet exo grâce à vos explications et indications. :++: