Homologie, tore à deux trous

[Julien8]

Bonsoir,



Je sais que l'homologie du tore à deux trous est où les quatre générateurs sont les courbes rouges et bleues claires.

Je me demande quelle est la classe des deux courbes verte et violette dans l'homologie.. Avez-vous une idée ?

On sait que , peut être que cela peut servir..

Merci beaucoup !

[Ben314]

Salut,
Perso, pour "lire" sur le dessin l'expression d'une courbe en fonction de générateurs, je passerais par le groupe fondamental (dont l'abélianisé est le premier groupe d'homologie).
Et pour voir de quoi il retourne dans le groupe fondamental, il faut choisir un point de base et modifier tes générateurs ainsi que les courbes dont tu cherche l'expression pour qu'il partent/arrivent à ce point de base (et les orienter bien sûr).
Après, il ne te reste plus qu'à "voir" sur un dessin comment tes courbes s'obtiennent, à homotopie prés, par composition des générateurs.

Mais je ne sais pas trop si ça répond à ta question...

[Skullkid]

Je profite un peu du topic, j'y connais rien en homologie mais j'ai essayé de répondre à la question posée, pour voir. Je suis assez confiant pour dire que la courbe violette est le produit des deux courbes rouges, par contre après quelques manips j'ai l'impression que la courbe verte est l'élément neutre, ce dont j'ai du mal à me persuader parce que je n'arrive pas à voir comment la réduire à un point... Fais-je fausse route ?

[Ben314]

C'est tout à fait ça modulo quelques détails :

1) (pas grave) Comme les groupes d'homologie sont (par construction) commutatifs, on note plutôt additivement la loi donc la courbe violette est plutôt "la somme" des deux rouges (à condition bien sûr d'avoir orienté les courbes de façon convenable)

2) Concernant la courbe violette, elle n'est pas triviale dans le groupe fondamental donc tu ne peut pas la réduire à un point.
Plus précisément, si on choisi un "point de base", qu'on déforme légèrement les courbes rouges et bleu pour les faire passer par ce point de base, qu'on les oriente convenablement et qu'on les nommes (rouge/bleu ; droite/gauche), on aura
(cette dernière égalité étant en fait l'égalité "caractéristique" du groupe fondamental dans le sens que le groupe fondamental du tore a deux trous a pour présentation )
Mais, le premier groupe d'homologie étant l'abélianisé du groupe fondamental, vu la formule ci dessus, la courbe verte est effectivement triviale dans H1.
En fait, ça peut aussi se voir directement, vu que c'est le "bord" de la partie droite (ou gauche) du tore à deux trous et que, par définition, tout ce qui est "bord de quelque chose" vaut 0 dans le H1 (alors que dans le Pi1, pour que ce soit trivial, il faut que ce soit le bord d'un truc simplement connexe)

[Skullkid]

Ok je m'étais donc mélangé les pinceaux en croyant que deux courbes égales dans le groupe homologique étaient forcément homotopes. Merci pour ces précisions !