Homologie

[Archytas]

Salut,
J'aurais une question sur les complexes de chaîne !

Pour un espace topologique quelconque on définit:


Avec les delta^i qui sont des complexes simpliciaux et R un anneau. Et on a pas définit justement les éléments de cet ensemble Sn, je vois ce que c'est qu'une fonction continue d'un complexe simplicial dans un espace topologique mais après comment on définit la somme et le produit d'un élément de R avec une fonction continue puisqu'on peut pas le définir de manière classique puisque X n'a peut être pas d'opérations "+" ou "." définies.

Si vous avez un brin de temps à me consacrer pour expliquer ce détail ce serait top
Par contre si c'est pour me dire d'aller voir mon cours ou me filer le lien wikipédia en me disant que je suis une merde je m'en passerai :lol3:
Merci d'avance :happy3:

[Robot]

Par contre si c'est pour me dire d'aller voir mon cours ou me filer le lien wikipédia en me disant que je suis une merde je m'en passerai :lol3:

Même pour te demander si ton cours ne dit pas qu'il s'agit de sommes formelles, autrement dit d'éléments du -module libre qui a pour base les fonctions continues de (tu as dû faire une erreur en mettant un ici) dans .

[Archytas]

Même pour te demander si ton cours ne dit pas qu'il s'agit de sommes formelles, autrement dit d'éléments du -module libre qui a pour base les fonctions continues de

Non ça ne parle pas de module dans ce cours (et ce n'est pas mentionné). Il y a juste écrit
Définition: X espace topo, S*(X,R) complexe des chaines singulières Sn(X,R)=...
Merci pour ta réponse, je comprends toujours pas trop quelle genre de bestiole c'est. Il y a une signification géométrique à 2.f par exemple ? Avec f continue d'un simplexe dans X ? Dans les exemples du cours on voit bien que les images par "d" (application de bord) ressemblent bien à des bords et que les applications continues qui "font un tour" sont des cycles (désolé si je suis pas clair du tout c'est très confu)
Je donne un exemple qu'on a :
on voit bien sur si on "colle" les deux chemins que forment les fonctions ça fait un chemin fermé et en calculant ça fait effectivement 0 donc c'est un cycle mais est ce qu'on peut dire que ? Et là on identifie les cycles aux chemins fermés mais pour les simplexes de dimension plus grande que deux comment on peut reconnaître les cycles ?
Désolé pour la confusion...

(tu as dû faire une erreur en mettant un ici) dans .

Exact, autant pour moi

[Robot]

Ca ne parle peut-être pas de module mais c'en est un ; la question est plutôt : sais-tu ce qu'est un module ? Si tu ne sais pas, tu n'as qu'à penser que est un corps. Si est un corps, est un espace vectoriel sur ce corps, un énorme espace vectoriel de base la famille de toutes les applications continues de dans (les simplexes singuliers).

Quant aux cycles, on les reconnaît par leur définition : ce sont les chaînes singulières (combinaison linéaires formelles à coefficients dans de simplexes singuliers) dont le bord est nul.

Quant à ton égalité , ce n'est pas une égalité dans , mais une égalité dans le groupe d'homologie : la différence de ces deux cycles est le bord d'un 2-simplexe singulier (une application continue de dans le cercle ).

[L.A.]

Bonsoir,

si tu as vu la construction du produit tensoriel c'est un peu le même principe : on raisonne sur un gros espace sur lequel on impose un certain nombre de relations par quotient. Pour construire le produit tensoriel de deux modules M et N sur un anneau A (ou deux ev sur un corps) tu commences par former le module somme directe des où (x,y) parcourt MxN. Ici tu formes la somme directe des où sigma_i parcourt l'ensemble des fonctions continues blabla...

[Archytas]

J'ai vu les modules et les tenseurs à peu près en même temps... Je comprends bien les modules sans avoir trop de recul dessus mais faut avouer que ce module là est vachement bizarre !
Moi j'ai appris que M est un A-module veut dire qu'il existe une application . de MxA dans M. Et pour moi notre Sn c'est de l'arnaque de dire que c'est un module ^^ (je blague hein) mais en fait on dit pas vraiment la nature de ses éléments en disant que c'est un module ; on donne juste la manière dont ils interagissent ensembles. Vous en faites pas je sais que c'est moi qui comprends rien mais pour moi qui demande ce que c'est a.f+b.g j'ai l'impression qu'on me répond juste qu'on a munit les fonctions continues d'un produit externe ?! Donc en fait Sn c'est pas un module parce qu'on a vérifié les axiomes mais parce qu'on l'a construit de manière à ce que ça en soit un ? C'est ça ? Donc il n'y a rien a vérifier ?
Je pense que ça commence à être plus clair... je pensais que les éléments de Sn pouvait être décrits par des choses que je connaissais déjà, que si f envoyait continûment un triangle sur la sphère on pourrait me décrire géométriquement 2.f en fonction de la surface : f(triangle). Mais non ?
Et désolé de vous embêter mais est ce que vous auriez un exemple de quelque chose qui ne soit pas un bord ?

la différence de ces deux cycles est le bord d'un 2-simplexe singulier

Du coup si c'est un bord c'est l'élément nul du groupe d'homologie n'est ce pas ?

Et L.A. d'ailleurs en y pensant, pour le produit tensoriel EoxF (produit tensoriel) on quotiente par des éléments de ExF du type X=(x+y,z)-(x,z)-(y,z) si mes souvenirs sont bons. Mais est ce que X est la somme formelle des trois vecteurs ou la somme normale telle qu'elle est déjà définie. C'est ce que j'ai jamais compris... par ce que pour la somme déjà définie sur ExF on a X=(0,-z) et ça a pas vraiment de sens...

[Doraki]

Si tu tiens à avoir une construction propre du "R-module libre de base B" M (où B est un ensemble quelconque) tu peux le voir comme M = l'ensemble des applications de B dans R qui ne prend qu'un nombre fini de valeurs non nulles. Sur cet ensemble, l'addition et la multiplication par un élément de R sont les opérations habituelles.
Tu as une injection canonique i de B dans M (i(b)(x) = 1 si x=b et 0 sinon).

On demande juste à ce que M et i satisfassent la propriété universelle suivante :
Si tu as un autre R-module M' avec une autre application i' : B -> M', alors il existe une unique application R-linéaire M -> M' telle que i' = f ° i.

En pratique, tout le monde se contrefiche de comment ce module est construit, de la même manière qu'on en a rien à faire qu'un couple (a,b) c'est l'ensemble {a,{a,b}} ou que R soit telle ou telle complétion des rationnels, ou de comment on construit le produit tensoriel etc. Tant qu'ils existent et qu'ils vérifient les propriétés qu'on leur demande.


Et puis ;) et ;) ne sont pas des bords (puisque leur bord est non nul)

[Archytas]

Si tu tiens à avoir une construction propre du "R-module libre de base B" (où B est un ensemble quelconque) tu peux le voir comme l'ensemble des applications de B dans R qui ne prend qu'un nombre fini de valeurs non nulles. Sur cet ensemble, l'addition et la multiplication par un élément de R sont les opérations habituelles.

Donc Sn c'est un peu comme ? C'est un peu comme voir les comme des indices des a_i ? Super ! C'est ça que je comprenais pas... le rôle des sigmas. Je comprenais pas ce qu'une fonction continue venait faire là dedans mais en fait on s'en fout que ce soit des fonctions continues, des tenseurs ou même des réels, ils ont juste un rôle d'indiçage auquel on ajoute une condition de "un nombre fini de pas nul". C'est un peu comme une somme topologique (pi majuscule à l'envers) indicée par B auquel on rajoute encore une condition de "un nombre fini de pas nul" ?!

Ah oui tau et sigma ! Et ça se voit un peu aussi ! On peut pas imaginer de surface telle que tau ou sigma soit le bord mais pour phi si on peut (le bord du disque).

Oui j'imagine bien Doraki :triste: je sais pas pourquoi je fais un blocage dessus, je veux absolument tout comprendre même les choses qui servent strictement à rien.

Merci à tous pour vos explications, c'est beaucoup plus clair pour moi maintenant !