Decomposition canonique d'une app ou Homologie???

[RadarX]

Bonjour,
Je commence par situer le cadre de mon blême comme d'habitude:

Si on a une app. f: A--->B et que l'on considère la relation d'eq dans A, R: "x R y f(x) = f(y)", en notant A/R l'ensemble des classes d'eq de cette relation dans A, on peut faire alors ce qu'on appelle une décomposition canonique de f suivant un diagramme commutatif que je ne peux pas écrire sous TEX.

On a (schéma approximatif) l'existence d'une unique app bijective
h: A/R ---> Im f tel que les 2 chemins suivants f: A--->B et i°h°p: A--->A/R--->B soient commutatifs (p étant la proj de A sur A/R et i l'injection canonique de Imf dans B)
C'est la un résultat assez connu de la plus part des matheux.

Maintenant appliqué a un morphisme de groupes f: G ----> H, l'ensemble A/R va devenir G/kerf (je passe les détails) et on a donc la décomposition canonique (ou factorisation en Algèbre commutative) suivante:

Il existe un unique isomorphisme h :G/ker ---> Im f t.q. f = i°h°p comme précédemment.
Maintenant j'ai sous les yeux un texte ou on parle de passage au quotient d'une application!!! Qu'est-ce que cela signifie exactement? Est-ce une technique (peut être de l'algèbre homologique) que je ne connais pas?
Yipee m'a déjà développé une certaine methode de "quotienter" que je connaissais déjà, mais cela ne me dit pas comment cela s'applique a mon bleme qui est le suivant:

corps, n >=1. := ens des orbites de sous l'action de :X ---> .
Alors me dit-on que de l'action naturelle de sur (qui est la multiplication d'une matrice M par le vect x de ), on déduit par passage au quotient une action de sur !!!!!!

Vois toujours pas? Passage au quotient??? Et comment??? Quelle technique?
Ou bien encore le detail de l'action sur !!!!!!


Merci.

[Yipee]

Je retente une explication générale. On se donne une application f: X -> Y et une relation d'équivalence R sur X. Dés lors, si

on dit que l'application f passe au quotient, c'est à dire qu'elle se factorise en
X -> X/R -> Y.

Pour construire la deuxième application g : X/R -> Y, il suffit de se dire que si on considère une classe c de X/R. On prend un élément x dans cette classe alors on pose
g(c) = f(x)
La condition ci-dessus montre que cela ne dépend pas du choix de l'élément x choisi...

J'espère que tu commences à comprendre....

[RadarX]

Je retente une explication générale. On se donne une application f: X -> Y et une relation d'équivalence R sur X. Dés lors, si

on dit que l'application f passe au quotient, c'est à dire qu'elle se factorise en
X -> X/R -> Y.

Pour construire la deuxième application g : X/R -> Y, il suffit de se dire que si on considère une classe c de X/R. On prend un élément x dans cette classe alors on pose
g(c) = f(x)
La condition ci-dessus montre que cela ne dépend pas du choix de l'élément x choisi...

J'espère que tu commences à comprendre....

Oui mais je le connais ce resultat. je l'ai meme explicité plus haut: c'est n'est rien d'autre que la decomposition canoniquue d'une application.

Par ailleurs, pour mon pb plus precis (action de PGLn+1 sur Pn), j'avais pensé appliquer le resultat general suivant (s'il est vrai bien sur): si G opere sur X [(g,x)---> gx], H un sous groupe de G et R une relation sur X, alors G/H opere sur X/H par (gH , cl(x)) ---> gx. Mais faudrait que je montre d'abord que c'est une application;
cad que (gH,x) = (hH,y) ==> gx = hy.

Je m'y met!

[Yipee]

Je n'ai pas écrit la même chose que toi. Ma relation d'équivalence n'est pas la même...

Pour ce que tu ecris après, tu as du te tromper en écrivant X/H et non X/R. Sinon ce résultat est évidemment faux. Il faut que les deux quotients soit "compatibles". A savoir que si on prend g' dans gH et y dans cl(x) alors g'y et gx sont dans la même classe d'équivalence. Ce n'est absolument pas toujours le cas... Mais c'est le cas dans ton exemple de

[RadarX]

Je n'ai pas écrit la même chose que toi. Ma relation d'équivalence n'est pas la même...

Pour ce que tu ecris après, tu as du te tromper en écrivant X/H et non X/R. Sinon ce résultat est évidemment faux. Il faut que les deux quotients soit "compatibles". A savoir que si on prend g' dans gH et y dans cl(x) alors g'y et gx sont dans la même classe d'équivalence. Ce n'est absolument pas toujours le cas... Mais c'est le cas dans ton exemple de

D'abord je ne suis pas sur que ta relation d'equivalence en soit bien une: ????? A la place de l'implicatioin je mettrais bien une equivalence et du coup ce sera exactement la mienne dont j'ai parlé plus haut.
Ensuite je pressens que tu aies raison de parler de compatibilité entre quotients; en ce moment que signifie exactement que 2 quotients sont compatibles?
En attendant, si c'est ce que je presume que c'est, je m'attelle a montrer qu'il y a bien compatibilité.
PS: j'ai rectifié mon erreur X/R au lieu de X/H.

[RadarX]

Je retente une explication générale. On se donne une application f: X -> Y et une relation d'équivalence R sur X. Dés lors, si

on dit que l'application f passe au quotient, c'est à dire qu'elle se factorise en
X -> X/R -> Y.
J'espère que tu commences à comprendre....

Ah!! Quoique... Si ta relation d'equivalence R est quelconque ????? je revois ca apres le jogging!

[jose_latino]

Je sais pas si c'est celui-ci que tu cherches mais on verra:
Tu as une action de sur
. Quelle serait l'action induite canoniquement sur les projectifs?. Ça serait: , il faut vérifier si cette application esf bien définite, ça veut dire [Tx] doit dépendre seulement de , pas seulement de et .
Soient et , ça veut dire, ils existent tels que et , alors . Ça veut dire que dépend seulement des classes [ et , pas seulement de et . Mais, cette même démonstration peut être faite en démontrant la commutativité du diagramme suivant:


Où et sont les applications canoniques, et est induite par , et est induit par .
J'espère t'avoir aidé. À bientôt :++: