Homéomorphisme !

[barbu23]

Bonsoir à tous :
Je voudrais savoir pourquoi :
Les ensembles : et sont homeomorphes à
L'ensemble est homeomorphe au cylindre :
Merci infiniment !

[yos]

Bonsoir.

1) L'homéomorphie est une projection stéréographique : si , la droite reliant (x,0) au point (1,0,...,0) de (vue dans ) recoupe en un point qui est f(x).

2) C'est pas ?

[barbu23]

Oui voilà pour c'est : au lieu de .
Yos, pour la première question , quelle est la formule explicite de la fonction projection stereographique pour essayer de verifier algebriquement l'homéomorphie ?
MErci infiniment !

[yos]

Que sais-je moi? Ya pas que des formules dans la vie.
Ca doit marcher parce que S^n est la frontière d'un convexe : tout droite passant pa le pôle (1,0,...,0) est soit tangente, soit resécante une seule fois à S^n. Tu évites le cas de tangence en surélevant ta sphère par rapport à l'hyperplan R^n (tout ça vu dans R^{n+1}.
Si quelqu'un a un truc plus rigoureux, ...

Pour la 2, on regarde la sphère épôlée (i.e. sans ses pôles) à l'intérieur d'un cylindre. et on fait une projection à partir du centre O de la sphère : la demi-droite [Ox) coupe le cylindre en f(x).

Là aussi, une construction plus savante serait bienvenue.

[mathelot]

bonsoir,

il n'y a (presque) pas de souçi avec les formules:

1) pour la projection stéréographique, écrire les équations en
coordonnées cartésiennes avec

- un pôle nord
- un point sur la sphère
-une équation paramétrique de droite
- l'image qui appartient au plan horizontal

la formule s'inverse (bijection réciproque) et l'on obtient aisémment
la bi-continuité.

2) pareil pour le cylindre:
clairement , la demi droite où O est le centre de la sphère épointée de ses deux pôles et un vecteur de norme 1, dirigeant cette demi-droite envoie la sphère sur le cylindre tangent à la sphère selon le cercle équatorien.

tout cela est très visuel (en dim 3) et aide à écrire les équations.

[mathelot]

on se lance dans les équations ?

a) projection stéréographique

pôle
sur la sphère

un point générique de la droite (MX)
on écrit l'équation paramétrique de la droite (MX) de paramètre k

Y=M+k(X-M) notation de Grassmann

Y=f(X) est déterminé par



la 1ère égalité donne

puis pour


d'où la continuité (on suppose que est plongée dans l'espace euclidien )

Pour l'application réciproque, on considère
comme est une équation
de la sphère, on remplace les :





la relation est homographique en . On le calcule...
on obtient ensuite les fonction des

ça doit ressembler pour le cylindre . équation

paramétré par quelconque.