Homéomorphisme

[Mathusalem]

Bonsoir,

Quand on dit que l'application
[0, 2[ -> S
= (cos(t), sin(t)) n'est pas un homéomorphisme, car la réciproque n'est pas continue en (1,0), pourrais-je avoir des détails ?

Je crois que est un bon candidat comme réciproque, n'est-ce pas ?

[Doraki]

L'image d'un ouvert par un homéomorphisme doit être un ouvert.

Par exemple, [0;pi[ est un ouvert de [0; 2pi[, mais son image n'est pas un ouvert de S1
a([0;pi[) = tous les points (x,y) du cercle tels que y > 0, plus le point (1,0).
(1,0) n'est pas à l'intérieur de a([0;pi[) donc a([0;pi[) n'est pas ouvert.

[Mathusalem]

Merci pour ces explications.

[Ben314]

Salut,
Si tu as vu ce qu'est un ensemble connexe, il y a un argument trés simple :
Dans un intervalle I non réduit à un point, si on enlève un élément (autre qu'une extrémité), on se retrouve avec deux composantes connexes.
Dans S1, quelque soit l'élément que l'on enlève, il n'y a toujours qu'une seule composante connexe.
Conclusion : il n'existe aucun homéomorphisme entre un intervalle et S1.

[Nightmare]

Salut à tous,

même si l'argument donné par Ben est clair dans ma tête depuis un moment, en y réfléchissant sur le coup sous l'angle séquentiel, je ne vois pas comment me déplacer sur le cercle vers 0 sans que l'angle ne tende vers 0. Mais l'heure tardive n'est pas propice aux réflexions.

[mathelot]

Bonjour,

une autre façon intuitive de voir qu'il n'y a pas homéo (le bon argument étant celui des composantes connexes des espaces topologiques privés chacun d'un point)

est qu'avec le paramètrage , ça se passe comme si A(1;0)
était point-asymptote et donc l'application réciproque n'est pas continue...

[mathelot]

Pour la bijection réciproque , on peut choisir par exemple

si
si


ce ne sont pas les formules qui manquent ! le principe étant de mettre en correspondance bijective des arcs de cercles et des intervalles puis de recoller

[Nightmare]

Je n'ai toujours pas de réponse à ma question. Comment construire une suite des points du cercle qui converge vers (1,0) sans que la suite des angles correspondant ne tende vers 0 ?

[ffpower]

Il suffit de prendre des angles proches de 2pi

[Nightmare]

C'est bien ce que je pensais, sauf que dans ma tête les angles proches de 2pi était des angles proche de 0 dans les négatifs...

Merci ffpower.

[ffpower]

C'est là la différence entre [0,2pi[ et R/2piZ ( qui lui est bien homéomorphe à S )

[mathelot]

Salut Night !

les angles de vecteurs sont les matrices de rotation


avec et et

si tu souhaites toute la généralité , les coefficients sont dans un corps K
plus prudemment, dans R

maintenant dans R, la série
est un morphisme surjectif et en passant au quotient (le fameux modulo ) donne les différentes mesures d'un angle,
toutes dans la même classe

le grand mystère dans tout cela, c'est que cos() et sin(), les coordonnées
génériques du point du cercle,
sont limites uniformes, sur tout compact de R, comme partie réelle et imaginaire de l'exponentielle
d'une suite de polynômes bien particulière

[Nightmare]

Salut Mathelot !

Je suis bien d'accord avec ça, mais que suis-je censé en tirer?

[mathelot]

Salut Mathelot !

Je suis bien d'accord avec ça, mais que suis-je censé en tirer?

eh ben, ce sont les mesures d'angles qui tendent vers 0 ou
ie, dans les fibres du revêtement,trivialisé au dessus de A(1,0) par


l'angle lui, tend vers la matrice Identité Id.

ps: d'ailleurs les sections locales du fibré, au dessus de A, s'écrivent
si on souhaite les expliciter