Homéomorphisme

[magnum]

bonjour,
je n'arrive pas à montrer que :
f: ]-1,1[->R
f(x)=x/(1-x²)
est un homéomorphisme .

en fait je n'arrive pas à montrer que c'est une bijection.

Merci .

[klevia]

Tu dérives et tu montres que f est monotone ...

[magnum]

ok merci mais quelle est sa bijection réciproque ?

[legeniedesalpages]

Bonsoir,

il me semble que tu n'as pas besoin de connaître l'expression de .

Si tu montres que est surjective et strictement croissante avec l'indice que t'as donné klevia,
tu peux en déduire que est continue, et que est définie et continue sur , autrement dit est un homéomorphisme.

[magnum]

je suis d'accord seulement c'est la deuxième question de l'exercice qui demande de déterminer la bijection réciproque .
pour démontrer que c'est un homéomorphisme je suis d'accord avec toi.
je cherche donc à présent la bijection réciproque de f .
Merci !

[Aspx]

Résoudre l'équation fonctionnelle peut être (bonne chance).

[legeniedesalpages]

Bonjour Aspx,

comment on peut procéder pour résoudre ce genre d'équations?

[Aspx]

C'était juste une idée comme ça :we: , j'en ai absoluemment aucune idée.

[abcd22]

Bonsoir,
y (1 - x^2) = x c'est une équation du second degré en x.

[ThSQ]

il me semble que tu n'as pas besoin de connaître l'expression de .
Si tu montres que est surjective et strictement croissante avec l'indice que t'as donné klevia,
tu peux en déduire que est continue, et que est définie et continue sur , autrement dit est un homéomorphisme.

Je suis d'accord qu'il suffit de dire que f est continue et bijective et que donc f^{-1} est continue mais ça mérite, à mon humble avis, au moins un mot d'accompagnement car c'est faux dans le cas général.

[legeniedesalpages]

oui , je suis allé un peu vite, mais ici on a une application f: ]-1,1[->R.

On a:

(f surjective et strictement croissante => f bijective et continue)

(f bijection croissante => bijection croissante) (un isomorphime pour l'ordre en fait)