Homéomorphisme

[barbu23]

Bonjour à tous, :happy3:

Est ce que quelqu'un peut m'expliquer gentiment pourquoi :

Cela se trouve à la page : du pdf du lien : http://arxiv.org/abs/1401.0959
Je n'ai pas bien saisi la démonstration qu'il y'a sur ce pdf.
Voiçi ce qui n'est pas clair pour moi :
Pourquoi le fait que :
se factorise via si et seulement si et pour tout , signifie que appartient à si et seulement si et pour tout .

Je ne comprends pas en plus d'où sort le passage : pour tout

Merci d'avance.

[L.A.]

Bonjour.

Si tu prends pour C le corps résiduel de A en l'idéal premier q = x, c'est à dire C = A_q/qA_q,
et si le morphisme naturel A -> C factorise par phi : A -> B,
en notant p le noyau de B -> C alors q = psi(p).

[barbu23]

Bonjour.

Si tu prends pour C le corps résiduel de A en l'idéal premier q = x, c'est à dire C = A_q/qA_q,
et si le morphisme naturel A -> C factorise par phi : A -> B,
en notant p le noyau de B -> C alors q = psi(p).

Merci pour ta réponse.
Ce que je n'arrive pas à comprendre est que, pourquoi :
et
équivaut à :
et pour tout .
Je pense que cela a un lien avec la page : et les deux autres pages : , du pdf plus haut, mais je n'arrive pas à voir plus clair ça.
Ce que j'arrive à comprendre est que : équivaut à dire que : , ou ,c'est tout.
Merci d'avance pour vos éclaircissements. :happy3:

[L.A.]

Attention aux imprécisions, si tu écris alors que f est un morphisme d'anneaux, tu risques très vite de t'emmêler les pinceaux.

Si f : A -> A_q/qA_q est le morphisme naturel avec et , alors et donc f(a) = 0. Réciproquement si f(a) = 0 pour tout a dans I, alors ker(f) qui est égal à q contient I donc . Tu peux faire le même genre de petite cuisine avec S.

[barbu23]

Merci pour ta réponse. :we:
Pour l'équivalence de la seconde partie qui reste :
et
: : ;
Correct ?
Merci d'avance. :happy3:

[L.A.]

Oui, ou plus simplement puisque par définition s(x) est égal à f(s).

[barbu23]

Merci. :we:
J'ai pas compris non plus pourquoi : , peux tu me l'expliquer stp ?
Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

Merci. :happy3:
Peux tu m'expliquer pourquoi :
On voit que :
- est le plus petit sous corps de qui contient l'image de .
- est le plus petit sous corps de qui contient l'image de .
D'où : . non ?
Mais, je ne vois pas pourquoi : .
Merci d'avance pour ton aide. :happy3:

[L.A.]

En fait, ici je pense qu'on peut faire plus simple que ce qui est proposé. Soit donc phi : A -> B vérifiant (ii), y = p un idéal premier de B et x = q = phi^{-1}(p). Tu as un diagramme commutatif

A_q -> B_p -> B_p/pB_p
A_q -> A_q/qA_q -> B_p/pB_p

Notons ces morphismes 1,2,3,4. Alors 2 et 3 sont surjectifs (quotients) et 4 est injectif (morphisme de corps). Il suffit de vérifier que 1 est surjectif pour que 4 soit un isomorphisme, et ça je te laisse le faire en écrivant les fractions et en utilisant (ii).

Ca doit revenir plus ou moins à ce qui est dit dans le pdf, mais je trouve ça plus clair sous cette forme...

[barbu23]

Soit :

Donc :
. ( D'après ).
avec : ( D'après : )
Par conséquent :
C'est à dire et et donc : , donc : est surjective, non ?

[barbu23]

Re - Bonjour :

Est ce que svp, vous pouvez m'expliquer pourquoi : ?
C'est écrit dans le paragraphe : de la page : du pdf suivant : http://arxiv.org/abs/1401.0959

Merci d'avance. :happy3:

[L.A.]

. ( D'après ).

Non, tu écris que phi est surjective, or ici phi est "presque" surjective (surjective "aux éléments inversibles près").

Pour vérifier l'expression de l'adhérence de x, tu dois vérifier que l'ensemble donné est fermé (ie c'est l'ensemble des zéros communs d'une famille d'éléments de A), contient x, et que tout ensemble fermé contenant x contient cet ensemble (ie si E est un ensemble d'éléments de A nuls en x, alors ces éléments sont nul en tout point y de l'adhérence). Comme indiqué tout ceci est "tautologique" (quasiment...)

En se souvenant que s(x)=0 équivaut à "s appartient à l'idéal premier x".

[barbu23]

Non, tu écris que phi est surjective, or ici phi est "presque" surjective (surjective "aux éléments inversibles près").

Je n'ai pas compris. Comment corriger ça stp ?. Merci. :happy3:

[L.A.]

D'après (ii) ton b peut s'écrire phi(a)/phi(...) mais pas forcément phi(a). Idem pour s.

[barbu23]

D'après (ii) ton b peut s'écrire phi(a)/phi(...) mais pas forcément phi(a). Idem pour s.

Ah d'accord, merci, j'ai compris. :happy3:

tu dois vérifier que ... si E est un ensemble d'éléments de A nuls en x, alors ces éléments sont nul en tout point y de l'adhérence.

ça, je ne sais pas le faire, tu peux m'aider un peu ?
Merci d'avance. :happy3:

[L.A.]

Mais si mais si...

Posons E_1 l'ensemble des éléments f de A tels que f(x)=0. On veut montrer que l'adhérence de x est l'ensemble

.

Soit F_2 un fermé contenant x, par définition il existe un ensemble E_2 d'éléments de A tels que

.

Comme F_2 contient x, on a et donc .

[barbu23]

Merci beaucoup, même si je n'ai pas tout compris. :ptdr:
Voiçi ce que j'ai compris :
est le plus petit fermé contenant .
Pour montrer que : , il faut montrer que est le plus petit fermé qui contient .
Pour cela, il faut montrer pour tout fermé contenant : . N'est ce pas ?
Mais, je ne comprends pas pourquoi : . :mur:
Merci d'avance pour votre aide. :happy3:

[L.A.]

Pour cela, il faut montrer pour tout fermé contenant : . N'est ce pas ? :happy3:

Oui, c'est simplement la définition de l'adhérence dans un espace topologique général (on peut oublier les histoires de schémas ici).

E_2 est inclus dans E_1 parce que E_1 contient tous les éléments qui s'annulent en x et que tous les éléments de E_2 s'annulent en x.

:marteau:

[barbu23]

Merci beaucoup. :happy3:
Donc, pour l'idéal premier correspondant à : .
Pourquoi si est un idéal correspondant à , alors : ?
Merci d'avance. :happy3:

[L.A.]

Rappelle toi que si , alors se traduit simplement par (puisque f(p) est l'image de f dans le corps résiduel A_p/pA_p)

Donc équivaut à équivaut à équivaut à .

D'un point de vue "philosophique", on peut donc dire que la topologie de Zariski est une vision "géométrique" des relations d'inclusions entre les idéaux premiers d'un anneau.