Homéomorphisme

par **Ouimet21** » 18 Mar 2012, 07:15

Bonjour, j'ai un petit exercice à faire

Je dois montrer que la sphère unité (S2) modulo la relation d'équivalence qui lie le pôle nord et le pôle sud est homéomorphe au bouquet S2 V S1 où S1 est le cercle unité

La notation "V" veut dire que c'est une union d'espaces, autrement dit S1 n'a rien à voir avec l'équateur de S2 par exemple, c'est un morceau d'espace différent et on note aussi qu'ils se touchent en un seul point.

Donc en résumé, on doit montrer que S2/N~S est homéomorphe à S2 V S1 (une anneau qui touche à une sphère en un seul point intuitivement)

Personnellement, j'ai l'impression que c'est faux, j'arrive pas à voir comment ça pourrait être bijectif (en particulier surjectif)

Il se pourrait, s'il y a vraiment une erreur dans la question, qu'on doive montrer que les espaces sont homotopes, au lieu d'homéomorphes.

Merci.

par **Doraki** » 18 Mar 2012, 10:35

ben ça ne peut pas être homéomorphe parcequ'en retirant le pointde contact dans S2 V S1, ça coupe le truc en 2 composantes connexes, alors qu'il n'y a aucun point de S²/~ qui fasse la même chose.

et ça m'étonnerait aussi qu'ils soient homotopiquement équivalents tellement ils se ressemblent pas.

par **Ouimet21** » 25 Mar 2012, 03:51

Doraki a écrit:ben ça ne peut pas être homéomorphe parcequ'en retirant le pointde contact dans S2 V S1, ça coupe le truc en 2 composantes connexes, alors qu'il n'y a aucun point de S²/~ qui fasse la même chose.

et ça m'étonnerait aussi qu'ils soient homotopiquement équivalents tellement ils se ressemblent pas.

Quel est le groupe fondamental de S^2/N~S ?

Si on montre qu'il est différent de Z, alors je crois qu'effectivement on pourra conclure que les espaces ne sont pas homotopes.

par **Doraki** » 25 Mar 2012, 11:03

Le groupe fondamental de S²/~ est isomorphe à Z.
Il est engendré par un chemin qui va de S à N sans repasser par un pôle entretemps.

par **Ouimet21** » 25 Mar 2012, 17:30

En fait, il faut montrer que les espaces sont homotopes.

Mais même intuitivement, j'arrive pas à le visualiser.

Si on note S^2/~=A et S^2 V S^1=B, alors on veut

f:A-->B, g:B-->A continues tel que fog homotope à id_B et gof homotope à id_A

On veut trouver h qui déforme continuement fog en id_B.

Mon problème c'est qu'il y a trop de points dans B pour poser un f raisonnable

par **Doraki** » 25 Mar 2012, 19:14

J'crois que j'ai un truc.

Pour simplifier les étapes, prend l'espace topologique intermédiaire C = S² u {0,0}x[-1;1]
(une sphère avec un baton au milieu qui rejoint les 2 pôles)

Pour A -> C, prend 2 petits cercles de A autour de chaque pôle que tu envoies sur les pôles respectifs de C,
envoie le pôle N=S de A sur le milieu du baton, (0,0,0), et complètes le reste comme il faut.

Pour C -> A, envoie le baton sur le pôle N=S de A, et prend l'identité sur la sphère.

Pour C -> B, choisit un chemin ;) de S à N sur la sphère et envoie-le sur le point de contact de ton bouquet. Envoie le baton sur le morceau S1, et complète comme il faut sur le reste de la sphère.

Pour B -> C, envoie le point de contact du bouquet sur le milieu de ;), envoie S1 sur le cercle constitué du baton et de ;) dans le sens qu'il faut pour que ça marche, et met l'identité sur la sphère.

Si je me suis pas gourré ça devrait marcher correctement.

par **Ouimet21** » 25 Mar 2012, 23:54

Doraki a écrit:J'crois que j'ai un truc.

Pour simplifier les étapes, prend l'espace topologique intermédiaire C = S² u {0,0}x[-1;1]
(une sphère avec un baton au milieu qui rejoint les 2 pôles)

Pour A -> C, prend 2 petits cercles de A autour de chaque pôle que tu envoies sur les pôles respectifs de C,
envoie le pôle N=S de A sur le milieu du baton, (0,0,0), et complètes le reste comme il faut.

Pour C -> A, envoie le baton sur le pôle N=S de A, et prend l'identité sur la sphère.

Pour C -> B, choisit un chemin de S à N sur la sphère et envoie-le sur le point de contact de ton bouquet. Envoie le baton sur le morceau S1, et complète comme il faut sur le reste de la sphère.

Pour B -> C, envoie le point de contact du bouquet sur le milieu de , envoie S1 sur le cercle constitué du baton et de dans le sens qu'il faut pour que ça marche, et met l'identité sur la sphère.

Si je me suis pas gourré ça devrait marcher correctement.

Il semble y avoir des problèmes de continuité partout sauf pour C->A

par **Ouimet21** » 29 Mar 2012, 02:51

Donc??????

par **Doraki** » 29 Mar 2012, 12:26

Moi j'ai aucun problème de continuité et ce sont bien des équivalences d'homotopies.

par **Ouimet21** » 29 Mar 2012, 14:11

Doraki a écrit:Moi j'ai aucun problème de continuité et ce sont bien des équivalences d'homotopies.

Alors je ne comprend pas ta solution

On doit trouver f:A->C et g:C->A continues tel que fog homotope à id_C et gof homotope à id_A
On doit aussi trouver h:C->B et k:B->C continues tel que hok homotope à id_B et koh homotope à id_C

Si les 4 fonctions que tu as donné correspondent respectivement à f,g,h,k, alors voici les problemes de continuité.

Pour f, déjà je comprend pas le truc des petits cercles et en plus les points qui sont proches des petits cercles seront envoyés à une distance non nulle des pôles, donc c'est pas continue.

g est la seule fonction continue.

Pour h, prend un point proche du chemin qui lie N et S, il sera envoyé sur la sphère loin de la boucle S1, donc c'est pas continue.

Pour k, je suis plus sûr, peut être que c'est continue.

par **Doraki** » 29 Mar 2012, 14:41

Bah quand je dis "complète le reste comme il faut", c'est de manière à ce que ce soit continu.

Par exemple, si dans A tu choisis le cercle z = sqrt2/2 autour de N, qu'il faut donc envoyer sur le pôle N dans C, et le cercle z= sqrt2/2 autour de S, qu'il faut envoyer sur le pôle S dans C,

tu peux compléter f en prenant :
f(x,y,z) = (x*sqrt((1-2z²)/(1-z²)),y*sqrt((1-2z²)/(1-z²)),z*sqrt2) lorsque |z|<= sqrt2/2,
f(x,y,z) = (0,0,(1-z)*(2+sqrt2)) si z >= sqrt2/2, et
f(x,y,z) = (0,0,(-1-z)*(2+sqrt2)) si z <= sqrt2/2.

par **Ouimet21** » 29 Mar 2012, 18:00

Doraki a écrit:Bah quand je dis "complète le reste comme il faut", c'est de manière à ce que ce soit continu.

Par exemple, si dans A tu choisis le cercle z = sqrt2/2 autour de N, qu'il faut donc envoyer sur le pôle N dans C, et le cercle z= sqrt2/2 autour de S, qu'il faut envoyer sur le pôle S dans C,

tu peux compléter f en prenant :
f(x,y,z) = (x*sqrt((1-2z²)/(1-z²)),y*sqrt((1-2z²)/(1-z²)),z*sqrt2) lorsque |z|= sqrt2/2, et
f(x,y,z) = (0,0,(-1-z)*(2+sqrt2)) si z <= sqrt2/2.

Ok je crois être convaincu maintenant, l'homotopie entre gof et id_A consisterait à contracter les petits cercles continuement jusqu'au pôle (NS)

par **Doraki** » 29 Mar 2012, 18:04

Sinon, pour B->C, il faut avoir choisi un chemin ;) qui passe par le point de contact.
(sinon il faut pas prendre l'identité sur la sphère mais une rotation)

par **Ouimet21** » 29 Mar 2012, 18:12

Doraki a écrit:Sinon, pour B->C, il faut avoir choisi un chemin qui passe par le point de contact.
(sinon il faut pas prendre l'identité sur la sphère mais une rotation)

Maintenant, je suis d'accord, on a bien A homotope à C

j'essaie maintenant de voir C homotope à B, il me faut un petit moment pour y réfléchir

Ok je crois voir comment avoir l'homotopie avec h et k

on va prendre une genre d'ellipse sur la sphere en C qui va contenir y et les poles et on va l'envoyer sur un disque en B qui couvre le point de contact, on va continuement contracter cette ellipse (ainsi le cercle sur B se contractera continuement), et en meme temps, on va etendre l'image de y continuement sur S1 dans B jusqu'a temps de couvrir disons la moitie de S1. le reste de la sphere en C sera envoyé sur le reste de la sphere en B. les deux parties de S1 seront envoyé sur y et la baton respectivement.

bon c'est pas super bien dit, mais je crois voir ce qui se passe, par contre, l'homotopie entre h et k serait tres dure à expliciter

reste à voir maintenant si on pourrait pas avoir A homotope à B directement, sans passer par C

EDIT: finalement je crois pas qu'on ait besoin de contracter l'ellipse, etendre l'image de y est suffisant, pour l'homotopie, on peut dire que l'ellipse est homeo au disque et donc la sphere moins l'ellipse est homeo à la sphere moins le disque, en admettant ces homeo, on pourrait expliciter l'homotopie entre h et k

ouf

par **Doraki** » 29 Mar 2012, 18:45

Sinon on pourrait chercher un ensemble plus gros D tel que A et B sont des rétractions de D.
J'ai un peu cherché mais je crois pas en avoir.
(Alors qu'entre A et C, ça se voit très bien).

par **Ouimet21** » 29 Mar 2012, 19:13

Doraki a écrit:Sinon on pourrait chercher un ensemble plus gros D tel que A et B sont des rétractions de D.
J'ai un peu cherché mais je crois pas en avoir.
(Alors qu'entre A et C, ça se voit très bien).

Ok, merci pour ton temps

Fallait quand même y penser lol

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