Histoire de Ker et Im

[les TPEistes]

Bonjour, ayant des problèmes avec ces notions, nouvelles pour moi, je viens vous demander un petit peu d'aide :

I/ Soient E, F et G trois K e v, f appartenant à L(E,F) et g à L(F,G).
Montrer que :
1- Im (g o f) inclu dans Im g ; Ker f inclu dans Ker (g o f)
2- g o f = 0 <=> Im f inclu dans Ker g

II/ Soient f et g deux endomorphismes d'un R e v E tels que f o g = id_E.
Montrer que :
1- Im (g o f) = Im g et Ker (g o f) = Ker f
2- Ker f + (somme directe) Im g = E

Merci de votre aide,
et bonne année 2009 à tous ! :)

[izamane95]

bonjour
montre nous d'abord ce que t'a fait pour qu'on puisse t'aider là où tu te bloque .....!!!!
Amicalement ..

[Charlo]

Bonjour izamane,

I/

1-

Soit y appartenant à Im (g o f)
Il existe x appartenant à E tel que y = g o f (x)
Or si x appartient à E, f(x) appartient à F et comme y = g ( f (x)), y appartient à Im g.
D'où Im (g o f) inclus dans Im g

Soit x appartenant à Ker f
g o f (x) = g ( f (x)). Or x appartient à Ker f donc f(x) = 0
Donc g o f (x) = g (0) = 0
D'ou Ker f inclus dans Ker (g o f)

C'est bon pour le début ??

[izamane95]

oui c'est bon pour l'instant..!!
pssss..."les TPEistes" et "Charlo " c'est la meme personne ??

[Charlo]

Dacodac =)

Pour la suite :

2- je suppose que g o f = 0
Soit y appartenant à Im f
Montrons que y appartient à Ker g
Donc il existe x appartenant à E tel que y = f (x)
g(y) = g(f(x)) = g o f (x) = 0 car g o f = 0
Donc y appartient à Ker g et on a Im f inclus dans Ker g.

C'est toujours bon ?

Il me manque la réciproque...

PS : oui, erreur de compte T_T

[izamane95]

oui ce que t'a fait est bon ....la réciproque est quasiment immédiate
bon on suppose : Im(f) inclus dans kerg
soit y dans Im(f) danc il existe x dans E tq y = f(x)
montrans que gof=0:
on a gof(x) = g(f(x)) = g(y) or on a aussi y appartient à kerg (car Im(f) inclus dans kerg)
danc g(y) =0
finalemnt gof=0
voilà..!!! :lol4: