Groupe

[Anonyme]

bonjour
j'ai un exo que jen'arrive pas à le resoudre
Soitf:C-->C z-->z.w^(k)
g:C-->C z-->z*.w^(k) (z*:le conjugué de z) (w=exp2ipi/n)
(n superieure ou egal à 3) (k comprise entre 0 et n)
je veux montrer que G = [f,f0; . . .; fn-1; g0; . . .; gn-1] est un groupe pour la composition des applications.
et merci d'avance

[hans]

Tu sais caractériser un sous-groupe?

[yos]

Bonsoir.
Tu as l'associativité et l'élément neutre fo.
il te reste à chercher f i^(-1), gi^(-1) parmi les f i et gi. et aussi à regarder les composées f i o fj, gi o gj, f i o g j et gj o f i .
Ca prend une minute à chaque fois.

[Anonyme]

Merci d'abord

1)Soit A indice k le point d'affixe aw^k je veux montrer que G represente le groupe des isometrie du polygone A0........An-1

2)Puis je veux savoir si g est cyclique ou non

3)et je dois montrer aussi que la composée de f1 et g0 est égale à la composée de g0 et f1^(-1)

4)et finalement je dois montrer que si H est un groupe tel que , x est d'ordre n et y est d'ordre 2 et x.y=y.x^(-1) (x et y elements de H),alors H est isomorphe à G.

ET MERCI D'AVANCE.

[yos]

1) D'une part on vérifie que les éléments de G laissent invariants le polygone régulier (facile). D'autre part, il faut montrer que toute isométrie f laissant fixe ce polygone est dans G . Pour cette "réciproque", il y a plusieurs méthodes. Par exemple on a f(O)=O car une isométrie conserve le barycentre, et il existe uniquement deux sortes d'isométries ayant un point fixe O, ce sont les rotations de centre O et les réflexions dont l'axe passe par O. Selon l'image de A0 parmi A0,A1,...An-1, tu n'auras plus que deux possibilités pour f et tu verras que tu tombes toujours sur un élément de G.

2) G n'est pas cyclique mais diédral : G=D2n (engendré par deux éléments s et r vérifiant : s d'ordre 2, r d'ordre n, sor=r^{-1}os).

3) 4) Voir 2) .

[Anonyme]

Merci d'abord

Est ce que je peux dire que tu as utiliser la double inclusion pour montrer que

H=G (H groupe des isometrie du polygone)

Est ce que tu peux detailler un peu plus les 2 inclusions

ET MERCI D'AVANCE

[yos]

L'inclusion G C H est assez évidente : On regarde l'action des fk et gk sur les points Ai et on conclut que ce sont des éléments de H. On constatera que les fk sont les rotations d'angle 2kpi/n et les gk sont les réflexions d'axe la médiatrice de [A0 Ak] (niveau term S spémaths).

L'autre inclusion, je crois l'avoir détaillée : f(O)=O est immédiat et si f(A0)=Ak, alors f est égale à fk ou à gk. Il faut savoir qu'il existe deux isométries exactement qui transforment deux points donnés (distincts) en deux points donnés (distincts), l'une d'elle est un déplacement (ici fk) et l'autre est un antidéplacement(gk).

Pour la 2) il y a juste à dire que les éléments de G sont d'ordre 1,2 ou n, mais jamais 2n.

La 3), tu fais les composées à partir des écritures complexes. C'est une simple vérification.

La 4) tu définis u : G---> H par u(f1)=x et u(go)=y et tu définis les autres images pour que u soit un morphisme. Montre ensuite qu'il est bijectif. Celà dit, je pense qu'il manque l'hypothèse que x et y engendrent H, sinon ça coince.