P-groupe

par **RadarX** » 23 Aoû 2005, 13:00

Un petit probleme dont j'ai presque la preuve... "presque" donc pas du tout si je me veux rigoureux!

Je rappelle qu'un p-groupe G ou p est un nombre premier, est un groupe d'ordre p^m. Et c'est tout!

Soit alors un p-groupe d'ordre |G| = p^m.
Je veux alors montrer que p divise l'ordre du centre de G, |Z(G)|.

La voie relativement simple dans laquelle je me suis engagé, est de dire que d'apres Lagrange, Z(G) etant un sous groupe de G, son ordre (cad son cardinal) divise |G| et |Z(G)| s'ecrit donc p^k (0=< k =< m).
Alors si k> 0 alors p divise |Z(G)| et QED!
Mais si k=0, l'histoire reste au point mort! Je n'ai pas trouvé comment exclure le cas k=0 ou le contourner.
Merci pour toute contrib sur cette preuve ou autre preuve!

RadarX.

par **phenomene** » 23 Aoû 2005, 13:28

Bonjour,

On fait agir le groupe

sur lui-même par conjugaison (par

). Notons

un système de représentants des classes de conjugaison, et

, où

est le centre de

. Notons enfin

le centralisateur d'un élément

.

On écrit alors l'équation aux classes :

.
Si

est un

-groupe,

divise

et chaque

pour

, il divise donc

.

par **RadarX** » 23 Aoû 2005, 13:36

phenomene a écrit:Bonjour,

On fait agir le groupe sur lui-même par conjugaison (par ). Notons un système de représentants des classes de conjugaison, et , où est le centre de . Notons enfin le centralisateur d'un élément .

On écrit alors l'équation aux classes :
.
Si est un -groupe, divise et chaque pour , il divise donc .

Ah oui, l'equation de classes de G.... :stupid_in Parfait! Cela me va tres bien!
Merci.

RadarX.

par **quinto** » 23 Aoû 2005, 14:01

Si je ne dis pas de bétise(s) le fait que Z divise G est évident (th. de Lagrange), mais c'est le fait que Z soit non trivial qui est intéressant.

par **phenomene** » 23 Aoû 2005, 14:12

quinto a écrit:Si je ne dis pas de bétise(s) le fait que Z divise G est évident (th. de Lagrange), mais c'est le fait que Z soit non trivial qui est intéressant.

Bonjour quinto, tu ne dis pas de bêtise et c'est en effet la non-trivialité du centre qui est le résultat intéressant.

par **quinto** » 23 Aoû 2005, 14:43

Bonjour phenomene, ca fait plaisir de te voir sur un nouveau forum.
Après relecture de la question, je me rend compte que ma remarque est superflue, on ne demande pas que Z divise G mais que p divise Z ce qui est très légèrement différent ici, mais qui change quand même certaines choses.
Amicalement,
Quinto

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