Groupe

[zork]

Bonjour,

G un groupe, H et K 2 sous groupes de G. H distingué dans G

Pourquoi l'application f:G-->G/H, x-->x* a pour noyau H?

une question indépendante de l'autre:
Si H et K sont distingué, montrer que HK est distingué

dans la correction on prend l'application f précédente
pourquoi f surjectif implique que f(K) est distingué dans G/H?


merci

[DamX]

Bonjour,

G un groupe, H et K 2 sous groupes de G. H distingué dans G

Pourquoi l'application f:G-->G/H, x-->x* a pour noyau H?

une question indépendante de l'autre:
Si H et K sont distingué, montrer que HK est distingué

dans la correction on prend l'application f précédente
pourquoi f surjectif implique que f(K) est distingué dans G/H?


merci

Bonjour,

Regarde l'antécédent de e* par f (e est l'élément neutre de (G,.)).

f(g) = e* ssi g est dans la classe d'equivalence de e, ie si e.g^-1 est dans H g^-1 est dans H g est dans H (car H groupe).

Donc Ker(f)=H.

Pour l'autre question, j'aurais dit que tu considères x dans HK, qui s'écrit donc x = hk avec h dans H et k dans K.
Soit g dans G. Il faut montrer que gxg^-1 est dans HK.
Tu as gxg^-1 = g.h.k.g^-1 = g.h.g^-1.g.k.g^-1,
or g.h.g^-1 est dans h car H distingué. De Meme g.k.g^-1 et dans K car K distingué.
Donc gxg^-1 est Dans HK.
Et donc HK distingué.

[zork]

d'accord merci