Groupe

par **Dinozzo13** » 22 Fév 2012, 19:51

Bonjour, on se donne un ensemble

munit de la loi de composition de fonctions

. Le but est de montrer que

est un groupe.

Je pensais le faire à l'aide de la définition d'un groupe mais on peut faire d'une autre manière selon moi, mais je ne vois pas comment faire.

Si

et

désignent deux ensembles munis respectivement des lois

et

tel que

est un groupe et

tels que :

alors

est un groupe.

Si on prend

munit de

alors que prendre pour

?

par **Dinozzo13** » 22 Fév 2012, 20:03

Au cas où, j'ai calculé :

.

Peut-être pourrait-on montrer que :

est un groupe.

par **Le_chat** » 22 Fév 2012, 20:04

Salut.

Pour F, au pif, tu peux prendre l'ensemble des 4-uplets (a,b,c,d), où ad-bc=1. En effet, à a,b,c,d fixé on définit bien un seul élément de H, et à chaque élément de H z->(az+b)/(cz+d), on a tous les (x*a,x*b,x*c,x*d) où x est dans C* qui conviennent, ça détermine pas entièrement la famille (a,b,c,d) d'où l'idée de fixer un paramètre en plus, en l'occurrence vu que ça semble pertinent, ad-bc.

Ensuite, pour trouver ta loi, ben y a pas 15 façons de faire. Tu écris à la main pour f et g dans H, fog et tu trouves les coefficients qui vont bien. Ici, tu vas te rendre compte que la loi o que tu trouves s'apparente en fait au produit matriciel (sauf erreur, ça fait longtemps que j'ai plus regardé les homographies), et ton ensemble F de départ est (oh magie^^) bien un groupe avec la loi o.

Mais bon c'est plus compliqué que de montrer à la main que c'est un groupe, vu qu'on doit déjà un peu rentrer dans les calculs pour trouver la loi "o" qui va bien.

par **Dinozzo13** » 22 Fév 2012, 20:36

Dinozzo13 a écrit:(...)
Peut-être pourrait-on montrer que :

est un groupe.

Oui, ca à l'air de s'apparenter au produit matriciel.

Le_chat a écrit:Salut.

Pour F, au pif, tu peux prendre l'ensemble des 4-uplets (a,b,c,d), où ad-bc=1. En effet, à a,b,c,d fixé on définit bien un seul élément de H, et à chaque élément de H z->(az+b)/(cz+d), on a tous les (x*a,x*b,x*c,x*d) où x est dans C* qui conviennent, ça détermine pas entièrement la famille (a,b,c,d) d'où l'idée de fixer un paramètre en plus, en l'occurrence vu que ça semble pertinent, ad-bc.

heu, je ne comprends pas bien cette partie. Pourrais-tu développer s'il te plait.

par **Le_chat** » 22 Fév 2012, 20:58

En fait, ce que j'ai dit au dessus ne marche pas, désolé. C'est une méthode que tu veux faire ou bien on t'impose de faire comme ça?

par **Dinozzo13** » 22 Fév 2012, 21:04

non, la méthode n'est pas imposée, mais je trouve que ces plus élégant et moins long que d'utiliser la définition.

par **Le_chat** » 22 Fév 2012, 21:11

Ben ici c'est vachement plus court d'utiliser la définition.

Dans tous les cas, soit ton groupe est simple dans ce cas ok F et l'opération o crèvent la vue, soit il est compliqué et dans ce cas tu dois avant de trouver F et l'opération, procéder à une analyse qui d'une part est longue à faire, d'autre part qui contient en gros tous les éléments de la preuve que ton (E,*) est un groupe.

Mais quand c'est simple, c'est aussi super facile de vérifier que c'est un groupe. Et puis pour un groupe c'est jamais super long à vérifier, dans la majorité des cas.

par **Olympus** » 22 Fév 2012, 21:42

Salut Dino !

Tu peux montrer très rapidement que

est un sous-groupe du groupe de bijections de

pour la loi

, du coup y a pas beaucoup de calculs à faire.

Sinon, petit détail, pour des applications de

vers

, tes fonctions ne semblent pas bien définies...

par **Doraki** » 22 Fév 2012, 23:34

Dinozzo13 a écrit:Bonjour, on se donne un ensemble

1/z n'est pas une fonction de C dans C.

Tu devrais corriger en prenant Cu{;)} au lieu de C, en complétant la définition par :
si c=0, f(;)) =

;
sinon, f(;)) = a/c et f(-d/c)=;).

Je plussoie le_chat, c'est beaucoup plus simple d'utiliser la définition.
T'as déjà presque montré que la loi de composition est interne, et montrer qu'elle est associative ne présente aucune difficulté (contrairement à ce qui se passe quand tu regardes juste les quadruplets et la loi absconse dessus comme tu comptes faire).
Il reste à vérifier que l'élément neutre pour ° est dans ton ensemble, et enfin l'existence de l'inverse, où là seulement il y a un poil de calcul à faire.

par **Dinozzo13** » 22 Fév 2012, 23:34

Olympus a écrit:Salut Dino !

Tu peux montrer très rapidement que est un sous-groupe du groupe de bijections de pour la loi , du coup y a pas beaucoup de calculs à faire.

Sinon, petit détail, pour des applications de vers , tes fonctions ne semblent pas bien définies...

Oui, les applications sont définies sur

.

hum, j'ai un blanc, comment fais-tu déjà pour montrer que

est un sous-groupe

pour

?

par **Olympus** » 23 Fév 2012, 00:04

Ben tu utilises la propriété caractéristique d'un sous-groupe. Tu montres, qu'il est stable par inverse et par composition, ou alors que

est dans

pour toutes applications

et

de

. Bien sûr, avant cela, tu dois montrer que

est bien une partie non-vide de l'ensemble des bijections de

vers

( pour l'inclusion, cela revient à montrer que chaque application de

est bijective ).

par **Dinozzo13** » 23 Fév 2012, 21:07

Olympus a écrit:Ben tu utilises la propriété caractéristique d'un sous-groupe. Tu montres, qu'il est stable par inverse et par composition, ou alors que est dans pour toutes applications et de . Bien sûr, avant cela, tu dois montrer que est bien une partie non-vide de l'ensemble des bijections de vers ( pour l'inclusion, cela revient à montrer que chaque application de est bijective ).

Juste à montrer que toute applications est bijective et

?

par **Olympus** » 23 Fév 2012, 21:32

Ouép, en n'oubliant pas de mentionner que ton ensemble est non-vide. C'est la caractérisation d'un sous-groupe. Mais avant cela, faut corriger le problème de définition de tes fonctions en adoptant par exemple le prolongement en

proposé par Doraki, puisque actuellement elles ne réalisent pas toutes des bijections de

vers

( elles ne sont même pas définies sur

, et si chaque fonction avait son ensemble de définition et son ensemble d'arrivée propres à elle, tu rencontrerais des problèmes quant à la composition ).

par **Dinozzo13** » 23 Fév 2012, 21:55

Montrer que l'ensemble est non vide ? Mais c'est évident, non ?
Le prolongement est-il indispensable ? Parce que l'exo est posé tel quel et ça m'étonnerai qu'on puisse attendre, de la part d'un élève normal, de rajouter cela, non ?

par **Le_chat** » 23 Fév 2012, 22:06

Si c'est posé comme ça, ne te préoccupe pas trop de savoir si c'est bien défini. Mais sinon en effet il y a un problème de définition, ton ensemble H est pas trop défini.

par **Dinozzo13** » 23 Fév 2012, 22:17

D'accord, donc si je prends tes recommandations en compte, ce n'est pas inutile.
Je vais donc les prendre pour la rigueur :++:

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