Groupe

[vnc456]

Bonsoir, j'ai un petit probleme avec un exercice

Question:

On se donne deux éléments a , b dans un groupe G, d'élément neutre e
a)Montrer que si ab=ba alors le sous-groupe engendré par a et b est commutatif

J'ai dit que comme ab=ba alors G est commutatif et soit C le sous groupe ( je ne sait pas si je peut utiliser cette notation pour engendre par a et b)
Et la loi interne de G est celle de C et qu'elle est commutative alors C est commutatif

b)Verifier que pour tout n dans N on a (aba^-1)^n=a(b^n)a^-1

[Doraki]

On se donne deux éléments a , b dans un groupe G, d'élément neutre e
J'ai dit que comme ab=ba alors G est commutatif

G peut ne pas être commutatif même s'il y a 2 éléments dedans qui commutent entre eux.
Par exemple si tu prends n'importe quel groupe non commutatif G, et tu prends a=b, bah a et b commutent, mais pas G.

[windows7]

cke doraki dit c'est qu'on prend a n'etant pas dans .
sinon prend x,y dans , comment s'ecrivent t'il en fonction de a et b ?
Ils commutent clairement

[vnc456]

ah oui mais si on avait dans les hypothèses a different de b on aurait put en deduire que G est commutatif ?

Windows7 je ne sait pas comment s'ecrit x,y en fonction de a et b c'est cela que je ne comprend pas

[Doraki]

ah oui mais si on avait dans les hypothèses a different de b on aurait put en deduire que G est commutatif ?

Bah non on peut aussi prendre a=e et b quelconque.
Et puis si on pouvait déduire que G était commutatif j'exo serait de montrer que G est commutatif et pas que seulement l'un de ses sous-groupes est commutatif.

Et puis si on te dit quelquechose à propos de a et b, bah ça peut pas servir pour montrer quoi que ce soit à propos de tous les éléments de G. Les éléments de G qui ne sont pas faits avec a et b (pas dans le sous-groupe engendré par a et b), bah ils s'en fichent complètement de ton hypothèse ab = ba, ça peut rien leur faire vu que ça les concerne pas.

[vnc456]

D accord est ce que tu peut m'expliquer comment ecrire x y en fonction de a et b

[vnc456]

Quelqu'un peut il m'aider??

[vnc456]

vraiment je ne sait pas du tout!!!!

[Doraki]

Comment tu décrirais les éléments du sous-groupe engendré par a ?

[girdav]

ah oui mais si on avait dans les hypothèses a different de b on aurait put en deduire que G est commutatif ?

Un contre-exemple : on prend le groupe des matrices inversibles. On prend et : ces deux matrices commutent et sont différentes mais le groupe n'est pas commutatif.

[vnc456]

Je n'ai eu que 2 cours sur les groupes et je ne comprend pas trops

[Doraki]

Le plus petit sous-groupe de G qui contienne a, il contient quoi comme éléments ?

[vnc456]

a et l'element neutre

[Doraki]

Nan.
On t'as jamais montré un exemple de groupe ?