Groupe symétrique - trouver σ tel que σ² = ...

[zouzou]

Bonjour le forum,

J'ai un exo (certainement bête puisque c'est le premier de la fiche de TD) qui est le suivant :

1. Soit n ≥ 2. Existe-t-il un σ dans Sn tel que σ² = (1 2) ?
2. Même question pour n ≥ 6 et σ² = (1 2)(3 4 5 6).

Pour l'instant j'en suis au 1., mais je pense que si je comprends la méthode pour cette question, j'arriverai au 2. seul.

Voilà où j'en suis :
Comme σ^4 = Id, on a que o(σ) = 4.
Soit n >= 2. J'imagine qu'il faut arriver à trouver des informations sur la décompositions en cycles disjoints de σ pour faciliter la résolution de l'équation σ² = (1 2). Mais je coince ... Du coup, j'ai voulu "sentir" le truc sur S4, et j'ai trouvé (sauf erreur de calcul) qu'il n'existait pas un tel σ dans S4.

Pourriez-vous me donner un indice ?

Merci beaucoup !

PS : je suis en L3

[hdci]

Bonjour,

Que connaissez-vous au sujet des signatures des permutations ? Puis de la signature d'une composition de permutations ?

[zouzou]

Bonjour hdci,

Du coup j'ai réfléchi à votre indice sur la signature !

C'est un morphisme de groupes de Sn dans {-1, 1} ; donc Ɛ(σ1 ... σk)=Ɛ(σ1)...Ɛ(σk). En particulier ici, on a alors que Ɛ(σ²) = Ɛ(σ)²=1
Par ailleurs, si c est un p-cycle, alors sa signature vaut (-1)^(p-1). En particulier, Ɛ( (1 2 ) )=-1
Donc quel que soit n >= 2, il n'existe pas de σ dans Sn tel que σ² = (1 2).

Est-ce correct ?

Merci !

[hdci]

Oui c'est cela. La signature d'une transposition est -1 et la signature de est forcément égale à 1 puisque c'est le carré de 1 ou de -1. Donc ne peut pas être une transposition.

[zouzou]

Parfait merci hdci