Trouver tous les polynômes tel que P'|P

[Cubiste]

Bonjour à tous,

Mon but est ici de trouver tous les polynômes à coefficients réels tel que P' divise P. Je suis un peu bloqué, mais voici comment j'ai procédé :
Le polynôme nul convient évidemment.
On suppose qu'on dispose d'un polynôme P tel que P=Q(X)P'(X) avec Q un polynôme.
Alors comme deg(P')=deg(P)-1, on en déduit deg(Q)=1
Donc il existe deux réels a,b tel que Q(X)=aX+b
Après du coup on a P'-(1/aX+b)P=0 et on résout l'équation différentielle du premier ordre.
Une fois l'équation différentielle résolut, on trouve P=c(aX+b)^(1/a) avec c=constante.

Sauf que à partir d'ici je suis un peu bloqué et je ne sais plus trop comment continuer. (même si je suppose qu'on a quasiment terminé).
Pouvez-vous m'aider?
Merci d'avance.

[aviateur]

Bonjour
Je ne comprends pas à comment tu es arrivé à P'-(1/aX+b)P=0.

Alors que tu peux simplement faire comme dans l'autre post, i.e de l'équation P(x)=Q(x)P'(x) obtenir une CN sur le degré.

[Cubiste]

Tout d'abord merci de votre réponse.
Comme P'Q=P alors deg(P'Q)=deg(P)
Donc deg(P')+deg(Q)=deg(P)
Or, comme deg(P')=deg(P)-1, on obtient alors deg(P)-1+deg(Q)=deg(P) i.e deg(Q)=1
Donc Q=aX +b et en remplacant dans la toute première équation on a P'(X) (aX+b)=P(X)
Donc on passe P(X) de l'autre côté puis on divise par aX+b et je tombe sur P'-(1/aX+b)P=0

Je ne comprends pas par quel moyen ici peut on obtenir une condition nécessaire sur le degré.

[aviateur]

Mais j'avais bien compris pour Q. Le seul problème c'est la dernière égalité: l'inverse de (ax+b) c'est pas (1/a x+b).

Et bien tu as p(x)-p'(x)(a x+b)=0.

Tu supposes que p est de gré n et soit a_n sont coefficient.
Tu regardes la valeur du coefficient de plus haut degré. Il doit être nul. Et ainsi de suite. Normalement tu dois trouver des CN qui vont te mener à la solution.

[Cubiste]

Ah oui effectivement je comprends. Je pense que je vais faire comme ça.

Une dernière question tout de même : Ai-je le droit d'affirmer que comme deg(P) doit être un entier naturel, alors forcément a=1? (car d'après l'équa diff on a c(aX+b)^(1/a)
Ainsi de cette manière, J'ai P(X)=cX+b et donc P'(X)=c
Ainsi en remplacant tout dans P'Q=P on a c(X+b)=cX donc cX+cb=cX donc cb=0
Mais comme P est un polynôme de degré 1, alors forcément b=0 et donc tous les polynômes qui vérifient P'|P sont les polynômes du type cX avec c un réel?

Merci encore de vos réponses.