Groupe quotient

[MC91]

Bonjour,

En ce moment, j'essaie de comprendre ce qu'est un groupe quotient.
J'ai vu ce qu'est une relation d'equivalence, mais j'ai quelques problèmes au niveau du vocabulaire.

Je n'arrive pas à voir le lien entre classe d'un ensemble suivant une relation d'equivalence, et classe d'un groupe suivant un sous groupe.
Peut on assimiler relation d'equivalence et sous groupe? Si oui, j'aurai besoin d'exemples....

Merci de votre aide.
A bientot

[MC91]

Bonjour,

En ce moment, j'essaie de comprendre ce qu'est un groupe quotient.
J'ai vu ce qu'est une relation d'equivalence, mais j'ai quelques problèmes au niveau du vocabulaire.

Je n'arrive pas à voir le lien entre classe d'un ensemble suivant une relation d'equivalence, et classe d'un groupe suivant un sous groupe.
Peut on assimiler relation d'equivalence et sous groupe? Si oui, j'aurai besoin d'exemples....

Merci de votre aide.
A bientot

Oups, désolé, quelqu'un avait déja posé une question du genre sur le forum. Grâce à son post, j'ai compris.

[L.A.]

Bonjour.

On peut définir une relation d'équivalence sur n'importe quel ensemble E (sans structure particulière). Il suffit de se donner une application p : E -> F et de dire que x,y dans E sont équivalents ssi p(x) = p(y). Toute relation d'équivalence sur E se construit par ce moyen (pour une RE donnée prendre F le quotient et p la projection canonique).

Mais si on s'intéresse à un groupe G, il existe des relations d'équivalence particulières qui respectent en plus cette structure. Les RE intéressantes sont celles pour lesquelles le quotient F est muni d'une structure de groupe pour laquelle la projection p est un morphisme de groupe. On vérifie alors que les RE intéressantes sont exactement les congruences modulo un sous-groupe.

[MC91]

Bonjour.

On peut définir une relation d'équivalence sur n'importe quel ensemble E (sans structure particulière). Il suffit de se donner une application p : E -> F et de dire que x,y dans E sont équivalents ssi p(x) = p(y). Toute relation d'équivalence sur E se construit par ce moyen (pour une RE donnée prendre F le quotient et p la projection canonique).

Mais si on s'intéresse à un groupe G, il existe des relations d'équivalence particulières qui respectent en plus cette structure. Les RE intéressantes sont celles pour lesquelles le quotient F est muni d'une structure de groupe pour laquelle la projection p est un morphisme de groupe. On vérifie alors que les RE intéressantes sont exactement les congruences modulo un sous-groupe.

Merci pour ta réponse.