Norme sur groupe quotient

[Als128]

Bonsoir,

J'aimerais avoir votre avis sur mon raisonnement :
Soit E espace de banach, F sous espace fermé, G=E/F, on pose pour :

Montrer que nu est une norme sur G

Pour le cas ou la norme est nulle, j'ai raisonné ainsi :
=>
Or G est l'espace des orbites de E suivant F
donc pour a dans E
or donc si a non nul, orbite(a)=orbite(0)

donc

C'est correct si j'ecris ça ? parce que la correction n'a absolument pas le même raisonnement

Merci !

[Nightmare]

Re salut !

C'est clairement faux, ne serait-ce que si on prend un x dans F, nu(classe de x) = 0.

Ici, il ne s'agit pas de prouver que xi est nul mais dans F ! Rien de difficile en remarquant que n'est rien d'autre que (ou x est un représentant de xi)

[Ben314]

Bonsoir,

Il me semble que :

=>

est un peu... rapide : il ne faut pas confondre une borne inf et... un minimum...
(c'est ici en particulier que l'hypothèse F fermé joue un rôle.....)
Je te laisse un autre essai..

Pour la suite, fait aussi attention que c'est un quotient de.... groupes additifs et que, dans les groupes additifs, on note souvent (sic) l'opération par un + plutôt que par un . (dans la définition des orbites)

Bon, en résumé.... essaye encore...

Bon courage

[Als128]

juste pour que mes idées soient bien claires :
E/F represente bien l'ensemble des classes d'équivalence des éléments de E pour la relation : xRy <=> il existe f€F/y=f+x ?

[Ben314]

tout à fait....
On peut aussi ecrire
Ce qui fait que, si F admet un suplémentaire F' alors E/F est isomorphe à F' (mais cela ne te sert à rien ici...)

[Als128]

Bon,
je tourne en rond et j'arrive pas à démontrer que la norme est définie... En fait je comprends pas comment démontrer que si v(xi)=0 xi=0
toute aide sera donc la bienvenue
(dèjà pour m'expliquer concretement comment utilser les elements de xi)

Merci

[alavacommejetepousse]

bonjour

je redis ce qui a été dit

G/F est l 'ensemble des classes : pour X une classe et x un élément de cette classe X = { x+y avec y élément de F}

si norme de X est nulle alors pour tout n >0 il existe y(n) dans F tel que

ll x+y(n) ll <1/n donc la suite y(n) converge vers x or F est fermé donc x est dans F donc sa classe est nulle : X = 0