Groupe quotient

[busard_des_roseaux]

Bonjour,

Soit E l'ensemble des complexes de module 1
à coordonnées rationnelles

F l'ensemble des carrés d'éléments de E

E et F sont des groupes multiplicatifs.

que représente le groupe quotient E/F ?
comment le décrire ?


merci

[Doraki]

Si p est un nombre premier congru à 1 modulo 4, alors X²+1 est scindé à racines simples sur Fp, et grâce à la factorialité de Z[i], on en déduit qu'il existe a et b tels que z_p = (a+ib)/p soit un complexe de module 1; z_p est unique à inversible près et à conjugaison près ; et z_p est d'ordre infini dans E.
En outre, les unités de Z[i] sont U = {1,i,-1,-i}

Comme groupe multiplicatif, E est engendré par i et les z_p, et la seule relation est i^4=1.

Quand on quotiente par F, les éléments sont donc décrits par la parité de la multiplicité des facteurs z_p.
E/F est un groupe engendré par une famille infinie (i et les z_p), où tout le monde est d'ordre 2.

Après, géométriquement, ça doit représenter à peu près rien.

[busard_des_roseaux]

merci.............