Groupe orthogonal: On(R)

[zobobo]

Bonjour

Comment montré qu'il est fermé, borné ?
j'ai lu sur wikipedia qu'il était de dimension n*(n-1)/2. Ca sort d'ou ?

Enfin, question plus generale, montrer qu'un ensemble est compact revient-il toujours à montrer fermé borné? ou ceci n'est_il vrai seulement dans certains espaces ?

Merci

[Taupin]

Pour ta dernière question, oui mais seulement si tu es en dimension finie ;)
Pour la dimension du groupe orthogonal, inspire toi des matrices symétriques (ca ressemble pour la dimension...) :ptdr:

[abcd22]

Bonjour,

Comment montré qu'il est fermé, borné ?

L'image réciproque d'un fermé par une application continue est fermée, pour bornée : majorer la norme (n'importe laquelle, par exemple la norme infinie ou la norme 2) d'une matrice orthogonale par quelque chose qui ne dépend pas de la matrice.

j'ai lu sur wikipedia qu'il était de dimension n*(n-1)/2. Ca sort d'ou ?

Attention le groupe orthogonal n'est pas un espace vectoriel, on peut aussi parler de sa dimension mais en tant que variété, c'est une notion plus compliquée que la dimension des espaces vectoriels.

[ThSQ]

Traité il y a peu : http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=55570


>> montrer qu'un ensemble est compact revient-il toujours à montrer fermé borné?

Non !

Par exemple c'est faux dans les espaces vectoriels de dimension infinie.

De surcroit, le fait d'être borné n'est pas une propriété topologique (exo classique : tout espace métrique est homéomorphe à un espace métrique borné)

[zobobo]

Bonjour,

L'image réciproque d'un fermé par une application continue est fermée,

L'application en question est -elle le determinant ici ?

[kazeriahm]

L'application en question est -elle le determinant ici ?

non... quelle est la définition de O_n(R) ?

[zobobo]

Je voulais dire l'application qui va de On dans {-1;1} qui à M associe det(M).
C'est pas ca ?

[kazeriahm]

salut

tu veux montrer que O_n(R) est un fermé de M_n(R)

considère l'application M->M*t(M) ou t est la transposée et regarde l'image réciproque du fermé {I_n}

[abcd22]

Je voulais dire l'application qui va de On dans {-1;1} qui à M associe det(M).
C'est pas ca ?

Non car On(R) n'est pas l'image réciproque de ce fermé par le déterminant, c'est seulement un sous-ensemble de l'image réciproque.