Norme quaternion / groupe orthogonal

[elvis77]

Bonjour,

On définit la norme sur le corps des quaternions par où est un quaternion
Je ne comprends pas pourquoi on peut dire qu'on a isomorphisme entre et où désigne l'ensemble des isométries pour la norme N et représente le groupe orthogonal en dimension 4.
Merci pour vos réponses.
Cordialement.

[lapras]

Bonjour,

On définit la norme sur le corps des quaternions par où est un quaternion
Je ne comprends pas pourquoi on peut dire qu'on a isomorphisme entre et où désigne l'ensemble des isométries pour la norme N et représente le groupe orthogonal en dimension 4.
Merci pour vos réponses.
Cordialement.

Il me semble que c'est immédiat : par la formule définissant N, on identifie les quaternions munis de N avec le R-ev de dimension 4 muni de la norme euclidienne. Donc les isométries de ces deux espaces sont naturellement identifiées.

[elvis77]

Cette réponse me satisfait.
Je cherchais à exhiber un isomorphisme concret...
Merci.

[Ben314]

Une petite remarque : la norme sur les quaternions, c'est plutôt (donc la norme usuelle sur )
En plus, je sais pas comment on t'a définit les quaternions (matrices 4x4 à coeffs réels ? matrice 2x2 à coeff complexes ? Autre construction ?) mais à la base, on peut tout à fait dir que les quaternions, c'est l'espace vectoriel auquel on a rajouté une structure (la multiplication).

Exactement de la même façon que l'on peut dire que c'est l'espace vectoriel muni du produit (x,y).(x',y')=(xx'-yy',xy'+yx').
Ce n'est sans doute pas la meilleure façon de définir les complexes (d'où sort la formule de multiplication ?), mais c'est une façon simple de les définir (sans connaitre les matrices) et on trouve ça dans certains bouquins...

[elvis77]

Je n'ai pas de racine...
Les quaternions sont pour moi, une extension de donc effectivement comme étant munit d'une certaine multiplication.
Merci

[Ben314]

Je n'ai pas de racine...

Si tu n'a pas de racines... ce n'est pas une norme vu que ça ne risque pas de vérifier norme(lambda.x)=|lambda|.norme(x)

[elvis77]

Si tu n'a pas de racines... ce n'est pas une norme vu que ça ne risque pas de vérifier norme(lambda.x)=|lambda|.norme(x)

hum... je suis d'accord pourtant c'est bien comme ça qu'on la définit dans le Perrin.

[Ben314]

hum... je suis d'accord pourtant c'est bien comme ça qu'on la définit dans le Perrin.

C'est ce que j’appellerais "un abus de langage" : Daniel Perrin aurait sans doute mieux fait, dans ce cas, de donner un autre nom que celui de norme (surtout s'il parle dans le même paragraphe d'espaces vectoriels normés comme R^4)

Ton N à toi (sans racine carré), c'est une forme quadratique définie positive (donc telle que la racine carrée soit une norme...)

[elvis77]

Ton N à toi (sans racine carré), c'est une forme quadratique définie positive (donc telle que la racine carrée soit une norme...)

Oui, je suis d'accord. Merci pour cette précision.

[lapras]

On peut tout à fait parler des isométries pour une forme quadratique, donc tout a un sens.
Ben > Je ne dirais pas que les quaternions c'est R^4 muni d'une multiplication etc... mais que c'est isomorphe, non canoniquement. Si il existe des automorphismes non triviaux de cet objet (du genre ici conjugaison par un élément), l'iso n'est pas unique. Pour moi C := R(X)/(X^2+1) (définition). Après ton C = R^2 muni d'une loi explicite est isomorphe au mien, mais pas canoniquement (en tant que R-algèbre disons) : C a deux R-automorphismes.

[Ben314]

Pour moi C := R(X)/(X^2+1) (définition). Après ton C = R^2 muni d'une loi explicite est isomorphe au mien...

C'est bien pour ça que j'ai commencé par "on peut dire que C est..."
et que j'ai terminé en disant que ce n'était sans doute pas la meilleure façon de définir C, mais (je persiste), c'est celle que l'on trouve dans certains bouquins vu qu'elle a l’avantage de ne pas parler de matrice, (ni évidement de quotient d'un anneaux euclidien par un idéal maximal... :zen: )
Et si on prend cette définition là (i.e. C=R² muni d'une multiplication), c'est TON R[X]/(X²+1) qui devient isomorphe à C (avec non unicité de l'isomorphisme...) :ptdr:

P.S. : c'est plutôt R[X] (polynômes) quotienté par... que R(X) (fraction rationnelles : c'est déjà un corps...)

Je persiste aussi à penser que, bien qu'on puisse tout à fait parler d'isométries dans le cas de forme quadratiques, ce n'est pas une raison pour utiliser le mot "norme" (qui a un autre sens) à la place de celui de "forme quadratique".
Je me suis même fendu d'aller vérifier que, sur les 5 ou 6 premiers sites sérieux que m'a donné google avec le mot clé "quaternions" : tous définissent la norme comme la racine carré de z fois multiplié par son conjugué (ou directement de la racine de la somme des carrés des 4 coordonnées)

[lapras]

C'est bien pour ça que j'ai commencé par "on peut dire que C est..."
et que j'ai terminé en disant que ce n'était sans doute pas la meilleure façon de définir C, mais (je persiste), c'est celle que l'on trouve dans certains bouquins vu qu'elle a l’avantage de ne pas parler de matrice, (ni évidement de quotient d'un anneaux euclidien par un idéal maximal... :zen: )
Et si on prend cette définition là (i.e. C=R² muni d'une multiplication), c'est TON R[X]/(X²+1) qui devient isomorphe à C (avec non unicité de l'isomorphisme...) :ptdr:

Oui bien sur, je voulais insister sur le fait qu'on ne définit que rarement un objet au sens de la théorie des ensembles, on se contente de parler d'un objet à isomorphisme près. Et ça peut poser de très sérieux problèmes par exemple si on regarde la clôture algébrique d'un corps, qui n'est pas du tout unique...

P.S. : c'est plutôt R[X] (polynômes) quotienté par... que R(X) (fraction rationnelles : c'est déjà un corps...)

Oui mais je n'ai pas les crochets sur mon macbook

[Joker62]

Alt+Shift+5 pour le crochet [

Un Macbook sans crochet, c'est quand même impensable :p

[lapras]

[ Merci Joker :) ]

[Ben314]

Oui bien sur, je voulais insister sur le fait qu'on ne définit que rarement un objet au sens de la théorie des ensembles, on se contente de parler d'un objet à isomorphisme près. Et ça peut poser de très sérieux problèmes par exemple si on regarde la clôture algébrique d'un corps, qui n'est pas du tout unique...

De toute façon, sur le fond, on est totalement d'accord (à mon avis), mais ce qui m'a "incité" dans la voie de l'identification complète des quaternions et de R^4, c'est la réponse qu'il t'a faite :

...Je cherchais à exhiber un isomorphisme concret...

Je voulais juste essayer de lui faire comprendre que, sous un certain point de vue, son "isomorphisme" pouvait tout à fait se voir comme f->f (que personnellement, je trouve quand même assez "concret"...)