Groupe de matrices Z/nZ (à coefficients dans...)

par **JbAviat** » 02 Juil 2007, 10:23

Bonjour,
Je suis à la recherche de documentation concernant l'inversion de matrices dans des groupes

:

Comment reconnaitre une matrice inversible,
Existe-t-il des algorithmes particuliers pour leur inversion...

Sauriez-vous où il me serait possible de me renseigner ?

par **Yipee** » 02 Juil 2007, 10:49

De manière générale on fait des matrices sur des anneaux et non pas des groupes. Bon Z/nZ est un anneau donc cela marche.

Les méthodes classiques marchent. En particulier la matrice est inversible si et seulement si le déterminant est inversible dans l'anneau (c'est ce qui remplace le non nul dans le cas des corps).

Le méthode de pivots classiques fonctionnent.

par **JbAviat** » 02 Juil 2007, 13:42

Très bien, merci beaucoup !
Sauriez-vous me dire où trouver un cours me donnant quelques démonstrations à ce sujet ?

par **Yipee** » 02 Juil 2007, 17:04

Je ne sais pas en quelle classe tu es, mais n'importe quel cours sur le sujet en remplaçant corps par anneaux et non nul par inversible fonctionne...

par **Lierre Aeripz** » 02 Juil 2007, 18:25

Yipee a écrit:Je ne sais pas en quelle classe tu es, mais n'importe quel cours sur le sujet en remplaçant corps par anneaux et non nul par inversible fonctionne...

Pas tout à fait... Notamment les méthodes de pivot. Dans un corps, il a une division, donc on peut rendre n'importe quel coefficient non nul unitaire. Dans un anneau c'est différent. Dans

on utilise Bézout et des divisions euclidienne pour réaliser l'inversion tout en restant dans

. On devrait pouvoir adapter ça dans

.

par **Yipee** » 02 Juil 2007, 18:28

Ce que je voulais dire c'est que via la méthode du pivot (et sans divisions) on peut ramener le système à un système diagonal mais avec des coefficients éventuellement différents de 1. Ensuite il suffit de voir si ces coefficients sont inversibles ou non.

par **Lierre Aeripz** » 02 Juil 2007, 18:38

Il va falloir que tu m'expliques ta méthode de pivot alors !

Pour moi, on prend un coefficient non nulle dans la colonne à traiter et on le divise par lui même pour avoir un 1. Ensuite, on soustrait ce 1 autant de fois qu'il faut aux autres coefficients pour les annuler.

par **Yipee** » 02 Juil 2007, 18:49

Lierre Aeripz a écrit:Il va falloir que tu m'expliques ta méthode de pivot alors !

Pour moi, on prend un coefficient non nulle dans la colonne à traiter et on le divise par lui même pour avoir un 1. Ensuite, on soustrait ce 1 autant de fois qu'il faut aux autres coefficients pour les annuler.

Disons que ton pivot en ligne L1 soit a (different de 1) et que tu veux annuler un coefficient b en ligne L2. Tu peux faire, comme tu le suggères, l'opération

Mais si on ne veut pas diviser par a on peut aussi faire

Cela annule aussi le coefficient b.

Par contre, et je n'ai peut-être pas été clair sur le sujet, il faut que a soit inversible dans l'anneau - ce qui revient à ton bezout.

par **JbAviat** » 03 Juil 2007, 08:13

Bien, merci pour tous ces éclairages.
En effet je suis tombé par chance sur certains cours de prépa / fac qui m'ont rappelé des souvenirs (j'ai fait mpsi / mp* mais je me suis dépêché de tout oublier en arrivant en école... :) !
À nouveau, merci beaucoup.

par **Joker62** » 03 Juil 2007, 09:27

Les cours serveraient-ils à quelques chose finalement ? :)
Lol :D

par **Lierre Aeripz** » 03 Juil 2007, 12:32

Yipee a écrit:Disons que ton pivot en ligne L1 soit a (different de 1) et que tu veux annuler un coefficient b en ligne L2. Tu peux faire, comme tu le suggères, l'opération

Mais si on ne veut pas diviser par a on peut aussi faire

Cela annule aussi le coefficient b.

Par contre, et je n'ai peut-être pas été clair sur le sujet, il faut que a soit inversible dans l'anneau - ce qui revient à ton bezout.

Ah ben oui ! Merci Yipee

Groupe de matrices Z/nZ (à coefficients dans...)

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