Groupe GLn(K)

[coco7513]

Bonjour,

En principe pour montrer que Gln(K) ( groupes des matrices inversibles) est un groupe pour la loi . , il faut montrer que c'est un sous-groupe d'un groupe "connu".

On montre aisément que c'est un sous groupe. Par contre, j'aimerai savoir c'est un sous-groupe de quel groupe? Je sais que ça ne peut pas être Mn(K) car toute matrice n'admet forcément pas de symétrique.

Merci d'avance pour votre réponse.

[Ben314]

Salut

On montre aisément que c'est un sous groupe. Par contre, j'aimerai savoir c'est un sous-groupe de quel groupe ?

Heu.......
Tu as relu les phrases que tu as écrit ? (j'espère honnêtement que non...)
Parce que si tu regarde la définition même de ce qu'est un sous groupe, ben le premier truc qu'il y a dedans, c'est "soit H une partie d'un groupe G" donc je vois franchement pas comment on peut montrer qu'un truc est un sous groupe sans même savoir dans quelle groupe est contenu le truc en question.

Sinon, si tu reste au niveau "pure matriciel", c'est à dire en regardant uniquement GLn(K) comme une partie de Mn(K), alors c'est le sous groupe de rien du tout, mais c'est le groupe des éléments inversibles de l'anneau Mn(K) (Pour un anneau unitaire quelconque (A,+,x) , l'ensemble des élément inversible de A forme un groupe multiplicatif).
Par contre, si tu regarde les matrices de Mn(K) comme correspondant à des applications linéaires de K^n dans K^n alors tu peut voir GLn(K) comme un sous groupe de l'ensemble des bijections de K^n dans K^n (Quelque soit l'ensemble X, l'ensemble des bijections de X dans X forme un groupe pour la loi de composition )

[coco7513]

"alors c'est le sous groupe de rien du tout"
En principe, si on exclut la notion d'anneau et d'applications linéaires, parce que dans la démonstration c'est ce qu'on fait... alors on montre que c'est un sous groupe de rien du tout... c'est à dire :
1) on prend deux élément A,B de Gln(K) on montre que A.B appartient à GLn(K)
2)Le neutre I_n est dedans
3)A-1 est dedans
tout en ne sachant pas le groupe de base dans lequel je me place...

Bref, je ne suis pas tout à fait convaincus...

[ludo60]

Bonjour, pour montrer qu'un ensemble H est un sous-groupe d'un groupe G, avant de montrer les trois propriétés que tu as cité, il faut d'abord avoir l'inclusion de H dans G.

[ludo60]

Si H n'est pas inclus dans un truc plus gros, il faut montrer davantage de choses pour prouver qu'il s'agit d'un groupe: associatif, existence d'un neutre et d'un symétrique de mémoire
+ loi interne edit !

[coco7513]

Oui mais c'est quoi G dans ce cas, c'est ce que j'essaie de comprendre...

[coco7513]

Clarifions les choses : pour moi Mn(K) n'est pas un groupe car par exemple la matrice nulle n'admet pas de symétrique pour la loi .

Autrement dit Gln(K) est un groupe pour la loi . mais Mn(K) n'est pas un groupe pour la loi .
Donc problème?

Sinon peut-on dire que (Gln(K),.) est sous sous groupe de (Mn(K),+) en changeant la loi interne?? mais ça me semble bizarre...

[capitaine nuggets]

Salut !

En toute rigueur, dire que quelque chose n'est pas un groupe n'a pas de sens, il faut préciser la loi que l'on considère (si on ne le fait pas, c'est que la loi considérée est évidente).

M_n(K) muni de l'addition est un groupe,
M_n(K) muni de la multiplication n'est pas un groupe (toutes les matrices ne sont pas inversibles pour la multiplication).

Grosso modo : Un sous-groupe est un ensemble inclus dans ensemble , lequel est muni d'une structure de groupe que je note , tel que la restriction à de fait de un groupe. On dit encore que est un sous-groupe de pour la loi induite par .

Pour montrer qu'un ensemble muni d'une loi de composition interne est un groupe :
- soit tu reviens à la définition d'un groupe et tu montres tous les axiomes,
- soit ut montres que c'est une sous-groupe d'un groupe connu.

A ma connaissance il y aurait une troisième façon de montrer qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe. Il faudrait le "relier" à une groupe connu par exemple via une application telle que, pour tous , , et (attention, je dis peut-être des bêtises là).

[Ben314]

Si H n'est pas inclus dans un truc plus gros, il faut montrer davantage de choses pour prouver qu'il s'agit d'un groupe: associatif, existence d'un neutre et d'un symétrique de mémoire
+ loi interne edit !

Oui, mais faudrait peut être avoir deux sous de bon sens : le fait par exemple que le produit entre matrices inversibles (i.e. sur GLn(K)) est associatif, ben faut être couillon pour le (re)démontrer vu que tu as déjà démontré que le produit matriciel entre matrices quelconques est associatif.

Bref, si ça te chante, tu peut ne pas écrire que "GLn(K) est le groupe des éléments inversible de l'anneau Mn(K)", mais dans la pratique, faut pas être con non plus, même si tu écrit pas cette phrase, il n'empêche que tu connait les propriété générales du produit matriciel entre matrices quelconques et que tu va évidement t'en servir pour montrer que Gln(K) est un groupe !!!

[Pseuda]

Bonsoir,

A ma connaissance, GLn(K) est un groupe, mais ce n'est un sous-groupe de rien du tout : Il est inclus dans Mn(K) (qui n'est pas un groupe pour la multiplication) et je ne vois pas de groupe inclus dans Mn(K) qui contiendrait strictement GLn(K).

Pure supposition.

[pascal16]

Y a pas confusion entre le groupe orthogonal (det = -1 ou 1 ) et les celui des matrices inversibles ?

[Pseuda]

Le groupe orthogonal On(R) est un sous-groupe du groupe des matrices inversibles.

Il y a aussi le groupe spécial orthogonal (rotations) de det 1 qui est un sous-groupe du groupe des matrices orthogonales.

[Pseuda]

Bonsoir,

A ma connaissance, GLn(K) est un groupe, mais ce n'est un sous-groupe de rien du tout : Il est inclus dans Mn(K) (qui n'est pas un groupe pour la multiplication) et je ne vois pas de groupe inclus dans Mn(K) qui contiendrait strictement GLn(K).

Bonjour,

Je confirme, il n'y a pas de groupe multiplicatif entre Mn(K) et GLn(K). En effet un groupe contenu dans Mn(K) contient toutes les matrices inversibles. Le plus grand est GLn(K).

[Ben314]

Je confirme, il n'y a pas de groupe multiplicatif entre Mn(K) et GLn(K). En effet un groupe contenu dans Mn(K) contient toutes les matrices inversibles. Le plus grand est GLn(K).

Non, c'est le contraire : un groupe contenu dans dans Mn(K) ne contient que des matrices inversibles (et pas forcément toutes).

[Pseuda]

Oui c'est ça, j'ai fourché. Toutes les matrices inversibles sont contenues dans GLn(K).

[Ben314]

Je confirme, il n'y a pas de groupe multiplicatif entre Mn(K) et GLn(K). En effet un groupe contenu dans Mn(K) contient toutes les matrices inversibles. Le plus grand est GLn(K).

Non, c'est le contraire : un groupe contenu dans dans Mn(K) ne contient que des matrices inversibles (et pas forcément toutes).

Et en plus, c'est faux si tu ne précise pas que le neutre de ton groupe tu veut que ce soit le neutre In de l'anneau Mn(K) et pas autre chose.
Par exemple, l'ensemble des matrices de la forme avec , c'est bien un groupe pour le produit matriciel avec comme neutre (mais ce n'est évidement pas un sous groupe de GL2(R))

Question : Si G est une partie de Mn(K) qui, muni de la multiplication usuelle des matrice, forme un groupe, mais dont l'élément neutre n'est pas In, est-ce que G est, à isomorphisme près, un sous groupe de GLm(K) pour un certain m<n ?

[coco7513]

le fait par exemple que le produit entre matrices inversibles (i.e. sur GLn(K)) est associatif, ben faut être couillon pour le (re)démontrer vu que tu as déjà démontré que le produit matriciel entre matrices quelconques est associatif.

Bonjour,
Donc si j'ai bien compris : pour montrer que (GLn(K), .) est un groupe, il faut montrer :
- l’associativité : évident car pour les matrices en général c'est vrai
- l'existence du neutre In : évident car pour les matrices en général c'est vrai
- tout élément admet un symétrique : évident en revenant à la définition.

Mais quand je regarde dans plusieurs livres ou sur internet, c'est fait comme ça :
- pour tout A,B dans Gln(K), AB est dans Gln(K)
-In est dans Gln(K)
-(A-1)A=A(A-1)=In

Ce qui ressemble ETRANGEMENT à la définition d'un sous groupe... donc j'aimerais quelques explications si possible...

Merci d'avance pour vos réponses.

[pascal16]

C'est un groupe : oui
Mais il n'y a aucun groupe de matrices le contenant strictement. Donc il n'est le sous-groupe de personne.
C'est un groupe contenu dans un ensemble muni d'une lci.

Donc on se demande ce qu'il y a derrière la question :

il faut montrer que c'est un sous-groupe d'un groupe "connu".

qui est sans réponse

[Pseuda]

@Ben314 Reprenons, j'ai peut-être été un peu vite. On veut montrer (si j'ai bien compris la question de coco7513, question bizarre en effet) qu'il n'y a pas de groupe multiplicatif G inclus dans Mn(K) qui contiendrait strictement GLn(K).

Autrement dit, on veut mq si G est un groupe multiplicatif tel que GLn(K) C G C Mn(K), alors G=GLn(K). Dès lors, il est évident que le neutre de G est In (car si G avait un autre neutre, comme GLn(K) C G, alors G aurait son propre neutre et In, et on sait qu'un groupe ne peut pas avoir 2 neutres distincts). Donc G est un groupe multiplicatif de neutre In (cela va mieux en le disant) qui contient GLn(K). Toute matrice de G est inversible (car G est un groupe), donc appartient à Gln(K), donc G C GLn(K). Au final, G=GLn(K).

GLn(K) n'est donc le sous-groupe d'aucun groupe multiplicatif de Mn(K). D'où l'énoncé est bizarre : on ne peut pas montrer que GLn(K) est un groupe en montrant que c'est un sous-groupe d'un groupe "connu". Mais on peut s'économiser avec l'associativité et le neutre In vérifiés par tous les éléments de Mn(K).

[Ben314]

Mais quand je regarde dans plusieurs livres ou sur internet, c'est fait comme ça :
- pour tout A,B dans Gln(K), AB est dans Gln(K)
-In est dans Gln(K)
-(A-1)A=A(A-1)=In
Ce qui ressemble ETRANGEMENT à la définition d'un sous groupe... donc j'aimerais quelques explications si possible...

GLn(K) n'est donc le sous-groupe d'aucun groupe multiplicatif de Mn(K). D'où l'énoncé est bizarre : on ne peut pas montrer que GLn(K) est un groupe en montrant que c'est un sous-groupe d'un groupe "connu". Mais on peut s'économiser avec l'associativité et le neutre In vérifiés par tous les éléments de Mn(K).

Bon, ben les gars, p'têt qui faudrait apprendre à lire... (les messages précédents).
On peut tout à fait dire que GLn(K) est un sous groupe de quelque chose (à isomorphisme prés).
Il suffit de dire que GLn(K) c'est le groupe des matrice représentant les applications linéaires bijectives de K^n dans K^n qui est contenu dans l'ensemble des bijections de K^n dans K^n (qui est un groupe).

P.S. (@coco7513) : tu peut me dire dans quel bouquin tu as trouvé ton truc texto (i.e. sans explication concernant le pourquoi du comment) (histoire que je conseille à mes étudiants... de ne surtout pas prendre celui là à la B.U.)