Groupe symétrique et GLn(Fp)

[elvis77]

Bonjour,

Je n'arrive pas à visualiser l'isomorphisme entre un sous groupe du groupe symétrique et le groupe .

J'ai lu qu'il fallait considérer les permutations des colonnes d'une base (de je suppose ?)
mais je n'arrive pas à l'écrire proprement pour que ce soit clair et compris dans ma tête.

Merci pour votre aide,

Cordialement.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Sois plus précis : quel groupe symétrique ? Quel n ? Quel p ?

[elvis77]

p est un nombre premier.


Je pense avoir une explication : On considère le morphisme qui à une permutation associe un endomorphisme en permutant les colonnes.

On peut voir que et comme on est en dimension finie, on a bien un isomorphisme entre et non ?

Merci.

[GaBuZoMeu]

Bien sûr que non, ce n'est pas un isomorphisme entre et !
C'est juste un isomorphisme de avec le sous-groupe des matrices de permutation, celles qui ont un 1 sur chaque colonne, un 1 sur chaque ligne, des zéros partout ailleurs.
Il y a des isomorphismes spéciaux, comme par exemple entre et , mais c'est une autre histoire.

[elvis77]

Merci pour votre réponse.
Cordialement.