Groupe fini

[tize]

Bonjour à tous,
je voudrais repondre a une colle de prepa mais je n'y arrive pas, la question est pourtant très simple : si G est un groupe fini et H un sous groupe strict de G alors : (inclus mais different de) . Avez vous deja fait cette exercice ou avez vous une idee car moi je bloque, s'il vous plait.

[tize]

Ca n'interesse vraiment personne ?

[abcd22]

Ca n'interesse vraiment personne ?

Si, moi, un exercice avec des groupes ça m'intéresse toujours :happy3:

On peut majorer le cardinal de la réunion pour montrer qu'il est strictement inférieur au cardinal de G. Commence par chercher une condition suffisante (mais pas forcément nécessaire) reliant x et y pour qu'on aie , pour en déduire une majoration du nombre de sous-groupes de G distincts de la forme .

[yos]

Une réunion de sous-groupes n'est pas un sous-groupe sauf si l'un est inclus dans l'autre (en effet si A et B sont deux sous-groupes avec a dans A-B et b dans B-A, alors ab n'est ni dans A ni dans B). Après c'est facile.

[tize]

Merci pour vos réponses Yos et abcd22 par contre Yos, je ne comprend pas ce que tu veux dire...Je vois bien que l'union de 2 sous groupe n'est pas nécessairement un groupe mais l'union de 3, 4 ,..ou n sous groupes ?
Si je suis ton idée abcd22, on peut montrer que si et sont dans la même classe à gauche modulo alors . Il suffit donc de considérer (si éléments (un de chaque classe) et l'union des est égal à l'union des et on a pour tout i :.
On pourrai donc majorer la reunion par si ses ensembles etaient 2 à 2 disjoints mais comme ils ont au moins le neutre en commun, on a forcement le cardinal de cette union qui est < .
J'ai bon ou il y a encore plus simple ?

[yos]

Ah oui ça se généralise pas. J'ai dit une bétise (de plus). Le groupe de Klein est réunion de ses trois sous-groupes d'ordre 2

[abcd22]

On pourrai donc majorer la reunion par si ses ensembles etaient 2 à 2 disjoints mais comme ils ont au moins le neutre en commun, on a forcement le cardinal de cette union qui est < .
J'ai bon ou il y a encore plus simple ?

Oui c'est bon, tu peux dire que le cardinal de la réunion est inférieur ou égal à car . Je ne sais pas s'il y a plus simple, c'est ce que j'avais fait en tout cas.