Groupe engendre

[zork]

Bonjour

Pouvez vous m'expliquer comment on montre qu'un groupe G est engendré par a,b dans G:G=?

je sais le faire quand G est monogène mais avec 2 générateurs non. Si vous aviez un exemple ca serait pas mal



merci

[zork]

un petit up

[barbu23]

Bonsoir : :happy3:
Si est noté additivement, tu montres que :
: .
Si est noté multiplicativement, tu montres que :
: .

[zork]

justement comment montrer cela

je prend la notation additive, x=n1a+n2b? on ne connait pas x

[zork]

vous n'auriez pas un exemple?

[Doraki]

Un exemple de groupe engendré par deux éléments ?

[zork]

oui un exemple ainsi que la démonstration de: comment montrer-t-on que ce groupe est bien engendré par ces 2 éléments

[Doraki]

Ben c'est plus ou moins intéressant selon le groupe et la démonstration.

(Z,+) est engendré par 1 et 12 (puisqu'il est engendré par 1), donc il est engendré par 2 éléments.
Le produit Z * Z est engendré par deux éléments (1,0) et (0,1) puisque (n,m) = n*(1,0) + m*(0,1) (où quand je mets n*truc c'est le composé de truc n fois avec lui même si n>=0, et l'inverse de -n*truc si n est négatif)
Le produit Z/3Z * Z/5Z est aussi engendré par (1,0) et (0,1) (avec la même preuve).

Ou alors sinon il y a le groupe libre engendré par deux éléments (le groupe des mots sur l'alphabet {a; a'; b; b'} modulo les simplifications aa' = a'a = bb' = b'b = le mot vide ; muni de la concaténation) qui comme son nom l'indique, est engendré par deux éléments (le mot "a" et le mot "b")

[zork]

j'ai trouvé un exo sur un autre forum:

(G,T) un groupe. G=Zx{-1,1}
(a,b)T(a',b')=(a+a'b,bb')

c=(0,-1) et d=(1,-1)
l'ordre de c et d est 2

Montrer que G engendré par c et d

comment fais-t-on?

[Doraki]

On commence par prendre un élément au hasard, par exemple (1,1), et à montrer qu'il est engendré par c et d.

Ensuite on dit que (1,1) engendre Z*{1} a lui tout seul, et puis ensuite avec c, c'est facile de montrer que Z*{-1} est aussi engendré par c et d.

[zork]

c'est quoi Z*{1}