[MPSI] Sous groupe engendré

[Euler07]

Salut,

Je ne me souviens plus pourquoi dans un groupe < ensemble vide > = {e} et que dans (Z,+) <1> = Z

:livre:

[Skullkid]

Salut, c'est quoi la définition du sous-groupe engendré par une partie ?

[Euler07]

C'est l'intersection de tout les sous groupes contenant A

:livre:

[Skullkid]

Qui est A ? La partie pour laquelle on regarde le sous-groupe engendré ? Dans ce cas, non, relis la définition.

[Euler07]

A est un sous ensemble de G (si je prends G le groupe de base)

:livre:

[Skullkid]

C'est l'intersection de tout les sous groupes contenant A

:livre:

Si A est la partie pour laquelle on cherche le sous-groupe engendré, ok (t'es rapide à l'édition ;( ). Donc si A est l'ensemble vide, pourquoi est-ce que ça fait {e} ?

[Euler07]

1) Je me dis que tout les ensembles contiennent l'ensemble vide.

2) Ce sont des sous groupes donc par définition ils ont tous un élément neutre

3) Après je sais pas trop, je vois pas le lien

:livre:

[Skullkid]

Oui, si on appelle G le "gros" groupe dans lequel on est, tous les sous-groupes de G contiennent l'ensemble vide. Donc le sous-groupe engendré par l'ensemble vide c'est l'intersection de tous les sous-groupes de G (on peut aussi montrer que c'est le plus petit sous-groupe de G au sens de l'inclusion), ce qui fait {e} de façon normalement assez évidente, puisque {e} est un sous-groupe de G (donc il contient l'intersection de tous les sous-groupes de G) et que {e} est inclus dans tous les sous-groupes de G (donc {e} est inclus dans l'intersection de tous les sous-groupes de G).

Même principe pour calculer <1> dans Z.

[Euler07]

Oui, si on appelle G le "gros" groupe dans lequel on est, tous les sous-groupes de G contiennent l'ensemble vide. Donc le sous-groupe engendré par l'ensemble vide c'est l'intersection de tous les sous-groupes de G (on peut aussi montrer que c'est le plus petit sous-groupe de G au sens de l'inclusion), ce qui fait {e} de façon normalement assez évidente, puisque {e} est un sous-groupe de G (donc il contient l'intersection de tous les sous-groupes de G) et que {e} est inclus dans tous les sous-groupes de G (donc {e} est inclus dans l'intersection de tous les sous-groupes de G).

Même principe pour calculer dans Z.

{e} est un sous groupe de G, pour la neutralité ok, pour la stabilité comment on fait on prend deux fois le e ? Et pour les éléments symétriques ?

:livre:

[vincentroumezy]

Oui, tu dis ue e*e=e, donc {e} est stable, et que e*e=e, donc e admet un inverse dans e, qui est e.

[Doraki]

ben oui c'est super simple :

pour tout x y de {e}, x*y est dans {e} :

Soit x dans {e}.
Par définition de {e}, x=e.
Soit y dans {e}.
Par définition de {e}, y=e.
Comme (G,+) est un groupe et que e est par définition l'élément neutre du groupe, e*e = e.
Donc x*y = e.
Comme e est dans {e}, x*y est bien dans {e}.
On a bien montré que {e} est stable par *.

pour tout x de {e} il existe y dans {e} tel que x*y=e :

Soit x dans {e}.
Par définition de {e}, x=e.
On cherche donc un élément y de {e} tel que e*y=e.
Au hasard, prenons y=e.
y est dans {e}, et (je refais pas la démo), e*e=e.
Donc y=e convient et donc on a bien montré que tous les éléments de {e} ont un inverse dans {e}.

[Euler07]

Merci à vous 3 .Oui je pensais comme ça aussi, Doraki tes démonstration sont toujours aussi complètes.

Je comprends pourquoi 1 est un générateur de Z. Donc en gros < 4 > ne donne pas 2Z var il faut que cela soit le plus petit donc 4Z ?

Peut-on dire que pour n entier naturel < n > = nZ ?

:livre:

[Doraki]

on le prouve, c'est mieux.

[Euler07]

Oui mais je peux pas prouver une chose que je ne suis pas sur que c'est bon ^^, donc la formule est vraie ? (n entier relatif plutôt c'est mieux)

:livre:

[Skullkid]

Oui, c'est vrai, et ce sera un bon exercice de le prouver.

[Euler07]

J'imagine bien parce que les sous-groupes de nZ avec n entier relatif je ne les connais pas. On procède par double inclusion je suppose

:livre:

[Skullkid]

On peut procéder par double inclusion oui. Ce qui compte ici ce ne sont pas les sous-groupes de nZ (qu'il serait bon de connaître), mais les sous-groupes de Z qui contiennent n.