Groupe Diédral

par **Asuryan** » 19 Oct 2008, 19:37

Bonjour,
j'aurais besoin de quelques indications pour un exercice de L3 d'Algèbre. Je ne demande pas nécessairement la solution (si vous voulez me la donner, je vais pas dire non :we: ) mais j'ai du mal à comprendre la notation Dn/Z(Dn):

On rappelle que le groupe diédral Dn est le groupe des isométries du plan conservant un polygone régulier à n côtés. Le groupe est constitué de n éléments correspondant aux rotations et n autres correspondant aux réflexions. On a r^n=s²=e et r*s=s*r^n-1

Quel est le groupe Dn/Z(Dn)?

Z(Dn) est le centre de Dn, il correspond à {e} si n est impair, {e,r^(n/2)} si n est pair.

Merci d'avance

par **mathelot** » 20 Oct 2008, 09:15

Bjr,

si

,

Le quotient est:

si k est pair

si k est impair

par **Asuryan** » 20 Oct 2008, 09:24

Je te remercie pour ton aide, mais je dois avouer que je ne vois pas du tout comment faire pour arriver à ce résultat :mur:
Pourrais tu m'expliquer s'il te plait?

par **Doraki** » 20 Oct 2008, 09:44

La notation qui t'embête c'est la notion de groupe quotient.

par **mathelot** » 20 Oct 2008, 09:46

Asuryan a écrit:
Pourrais tu m'expliquer s'il te plait?

(?) je te laisse avec Doraki.

par **Asuryan** » 20 Oct 2008, 10:50

Ok donc les éléments de Dn/Z(Dn) sont les classes à gauche modulo Z(Dn).
Donc si n est impair, Dn/Z(Dn)=Dn car le centre est réduit à l'élément neutre. (Arrêtez moi si je me plante^^)
Après si n est pair ca se complique...
Merci pour votre aide en tout cas, je comprends déja mieux quoi chercher

par **Doraki** » 20 Oct 2008, 11:38

C'est ça.

Remarque que comme les éléments de Z(Dn) commutent avec tous les éléments de Dn,
les classes à gauche et les classes à droite, c'est la même chose.
C'est grâce à ça que la loi de composition interne se transporte convenablement sur les classes.

Si n est pair, il s'agit alors de reconnaitre que Dn/Z(Dn) est isomorphe à D(n/2).

par **mathelot** » 20 Oct 2008, 12:00

Doraki a écrit:Si n est pair, il s'agit alors de reconnaitre que Dn/Z(Dn) est isomorphe à D(n/2).

ah bon, il me semblait que ,vû le résultat que j'ai cité (cf message de 10h15) ce n'était pas toujours le cas, en particulier si n=4k+2

par **Doraki** » 20 Oct 2008, 12:31

T'as du t'embrouiller entre n et l'ordre de Dn, qui n'est pas n mais 2n.
J'adore comment sur wikipedia ils disent d'emblée "Dn, ou parfois D2n, est ..."

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