Groupe diédral infini

[Reno]

Bonsoir,

Alors voilà, je suis sur des révisions en ce moment, en algèbre, et je me suis cassé les dents sur le groupe diédral infini. Je n'arrive à retrouver ni son centre, ni le groupe dérivé, à partir de la présentation:

D;):={a,b/b²=1 et bab=a^(-1)}

J'avais déjà fait la chose à partir de la présentation {x,y/x²=y²=1} mais le produit libre n'étant pas au programme je me dois de pouvoir me servir de l'autre définition, et je n'arrive pas à m'en dépatouiller... Si quelqu'un pouvait m'indiquer, au moins dans les grandes lignes, la marche à suivre cela m'aiderai beaucoup.

Merci.

[Doraki]

Montre que chaque élément de G s'écrit de manière unique sous la forme a^n b^m, où n est dans Z et m dans {0;1}.

Une fois que tu as cette description un peu plus concrète des éléments de G, tu peux alors traduire la loi de composition dans ce contexte, et normalement c'est pas trop dur de tester qui commute avec qui, donc d'en déduire le centre.

[Reno]

Montre que chaque élément de G s'écrit de manière unique sous la forme a^n b^m, où n est dans Z et m dans {0;1}.

Une fois que tu as cette description un peu plus concrète des éléments de G, tu peux alors traduire la loi de composition dans ce contexte, et normalement c'est pas trop dur de tester qui commute avec qui, donc d'en déduire le centre.

Je vais essayer dans cette direction là, merci pour l'indication!

[Halloweed]

Bonjour j'ai le même genre d'exo et je n'y arrive pas. Je pensais que le centre ressemblerait à celui de Dn, calculé juste avant, mais je n'arrive vraiment à rien, pas moyen de trouver des conditions sur un élément quelconque qui me permettrait de déterminer le centre. Pareil pour le sous groupe des commutateurs :triste:

[Halloweed]

J'ai trouvé que le centre est l'élément neutre, et que le groupe dérivé est engendré par a², quelqu'un peut me dire si c'est bon?
Par contre je n'arrive pas a trouver l'abélianisé...

[Doraki]

Ben c'est G/.

Il y a 4 classes

a
b
ab

Et le quotient est isomorphe à (Z/2Z)²

[Halloweed]

Ben c'est G/.

Il y a 4 classes

a
b
ab

Et le quotient est isomorphe à (Z/2Z)²

Oh d'accord! Merci beaucoup, j'ai vraiment du mal avec les groupes quotients, ça ne se visualise pas du tout.