Groupe cyclique

[jeje56]

Bonjour,

Je démontre : G cyclique d'ordre n => G isomorphe à Z/nZ

J'ai deux interrogations :

1) Soit f le morphisme de groupes entre Z et G qui à n associe x^n : par le th de décomposition canonique, G est isomorphe à Z/ker(f) ; f surjectif est-il nécessaire pr appliquer le th ?

2) La réciproque est-elle évidente ?

Merci !

[skilveg]

Salut,

1) Ben oui, puisque le théorème dit que . (D'ailleurs si la surjectivité n'était pas nécessaire, tout groupe serait monogène.)

2) Quelle réciproque? Trouves-tu clair le fait que soit cyclique? Ou que la cyclicité soit conservée par un isomorphisme?

[jeje56]

1) Ben oui, puisque le théorème dit que

2) Trouves-tu clair le fait que soit cyclique? Ou que la cyclicité soit conservée par un isomorphisme?

1) Que dit la surjectivité déjà ?

2) Oui pour la première, pas vraiment pour la seconde...

Merci !

[skilveg]

1) En principe ça doit être dans ton cours...

2) Si est engendré par un élément et est isomorphe à par un morphisme , est-ce que tu peux me donner un générateur de ? Et si en plus est fini?

[jeje56]

1) Justement je ne trouve pas... Je sais que f injectif ssi kerf=0 mais c'est tout...

2) Je ne vois pas trop : x génère aussi H ?

[skilveg]

1) Surjectif c'est tel que l'image remplit tout.

2) Ben oui.

[jeje56]

Oui d'accord, mais pourquoi :

(D'ailleurs si la surjectivité n'était pas nécessaire, tout groupe serait monogène.)

?

Merci à toi !

[skilveg]

Parce que pour tout groupe , il y a un morphisme de dans , donc si l'hypothèse de surjectivité n'était pas nécessaire serait isomorphe à un quotient de , et donc monogène.