Nombre de generateur d'un groupe cyclique

[triliostar]

G est un groupe cyclique, |G|=n=pq, p et q deux nombres premiers distincts, j'ai utilisé la fonction indicatrice d'Euler phi(n), j'ai trouver qu'il y'en a (n-p-q) éléments premiers avec n compris entre 1 et n-1;
mon raisonnement :
g essayé d'éliminer les nombres qui sont pas premiers avec n , et ces nombres la ne sont que les multiples de p et q inférieurs a n, je me suis dit y'en a p multiples de q, et de l'autre coté y'en a q multiples de p, alors en les éliminant on trouve la formule precedante, (n-p-q), je vx savoir s'il ya qlq chose a dire a propo de sa, merci d'avance !!

[Ben314]

Salut,
Le raisonement est impeccable, sauf que tu a enlevé deux fois le nombre '0' (ou le nombre 'n' si tu préfère), une fois comme multiple de p et une fois comme multiple de q. Le résultat est donc plutôt n-p-q+1.

Pour la question "y a t-il quelque chose à dire...", ben effectivement, on peut dire qu'il existe une formule générale permettant de trouver :
Si la décomposition en nombres premiers (distincts) de est alors
Donc, en particulier,

[triliostar]

Merci bieen .. bon je vien de decouvrir le truc, mais quant meme merci, pasqu je voulai calculer les generateur de (Z/7Z)* , y'en a deux mais mn truck n'a pa marcher, alors g ajouter le 1 ^^, moi je croyai pas qu'on peu dire que 1 est premier avec n !!

[Ben314]

Le groupe multiplicatif ((Z/7Z)*,x) est isomorphe au groupe additif (Z/6Z,+) et donc ils ont le même nombres de générateurs qui est phi(6).
Ce ne sont pas les nombres premier avec 7 qu'il faut calculer, mais ceux avec 6 (et 0 n'est pas premier avec 6)

[triliostar]

a ce moment la, je c pa quel est la difference entre un groupe multiplicatif et un autre qui est additif , bref je sai bien qu'il faut calculer ceux qui sont premiers avec 6 pasq deja on a |(Z/pZ)*| = p-1 si p est premier !

[Ben314]

Bon, un petit "rappel de cours" :
Pour tout entier n>1, l'ensemble Z/nZ est naturellement muni de deux opérations l'addition qui lui donne une structure de groupe (commutatif de neutre 0) et la multiplication (qui ne définit pas un groupe : 0 n'est pas inversible).
Muni des deux lois, cela forme un anneau et même, lorsque n est un nombre premier un corps (i.e. tout élément non nul est inversible).
Que n soit premier ou non, on peut considérer l'ensemble noté (Z/nZ)* des éléments inversibles de Z/nZ. L'addition "ne marche plus" sur (Z/nZ)* (la somme de deux inversibles n'est pas forcément inversible) mais par contre la multiplication marche mieux et (Z/nZ)* muni de la multiplication est maintenant un groupe (le produit de deux inversibles est inversible et l'inverse d'un inversible est inversible)

Exemple :
Z/7Z={0,1,2,3,4,5,6} est naturellement muni de + (groupe) et de x.
(Z/7Z)*={1,2,3,4,5,6} n'est plus muni que de x mais c'est un groupe.
Le fait que le groupe multiplicatif ((Z/7Z)*,x) est isomorphe au groupe additif (Z/6Z,+) signifie qu'il existe une bijection f de Z/6Z sur (Z/7Z)* sur telle que, pour tout a,b dans (Z/6Z), on ait f(a+b)=f(a)xf(b)
Un exemple de telle bijection est celle qui à 0,1,2,3,4,5 (modulo 6) associe respectivement 1,3,2,6,4,5 (modulo 7)

[triliostar]

merci bien pour le rappel ..