Groupe cyclique

par **jlb** » 07 Fév 2013, 14:45

Bonjour je me posais cette petite question, si quelqu'un peut m'éclairer, je l'en remercie.

Soit un anneau G de cardinal n , groupe cyclique pour sa première loi. A-t-on, comme dans Z/nZ, ses éléments générateurs qui forment un groupe pour la deuxième loi?
Je serai tenté de dire non mais je cherche un contre-exemple.

par **Doraki** » 07 Fév 2013, 15:10

Oui parceque si G est unitaire alors il est isomorphe à (Z/nZ,+,*)

(sinon t'as des trucs comme 2Z/8Z, engendré par 2 ou 6 mais tu peux pas vraiment parler de groupe pour la deuxième loi si t'as pas d'élément neutre)

par **jlb** » 07 Fév 2013, 15:49

Doraki a écrit:Oui parceque si G est unitaire alors il est isomorphe à (Z/nZ,+,*)

(sinon t'as des trucs comme 2Z/8Z, engendré par 2 ou 6 mais tu peux pas vraiment parler de groupe pour la deuxième loi si t'as pas d'élément neutre)

en terme de groupe l'isomorphisme associe à 1 un élément générateur de G
donc pour que cet isomorphisme devienne un isomorphisme d'anneau on doit avoir l'élément unitaire qui génère le groupe, c'est bien cela? est ce évident que l'élément unité pour la seconde loi génère le groupe?
merci en tout cas.

par **Doraki** » 07 Fév 2013, 15:58

C'est pas totalement immédiat mais c'est facile quand même.

par **jlb** » 07 Fév 2013, 16:05

Doraki a écrit:C'est pas totalement immédiat mais c'est facile quand même.

merci, plus qu'à me creuser ( encore une fois!!!) la tête.

par **jlb** » 08 Fév 2013, 12:46

jlb a écrit:merci, plus qu'à me creuser ( encore une fois!!!) la tête.

après m'être creusé la tête: la caractéristique du neutre multiplicatif est l'ordre du groupe sinon les éléments du groupe ont pour ordre au maximum cette caractéristique d'après les règles d'un anneau et les propriétés du neutre. c'est cela? merci encore pour le contre exemple.

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