Groupe cyclique

par **barbu23** » 11 Oct 2012, 22:55

Bonsoir à tous, :happy3:
Pourquoi

est cyclique, alors que

n'est pas cyclique ?

est un nombre premier.
Merci d'avance. :happy3:

par **DamX** » 11 Oct 2012, 23:34

barbu23 a écrit:Bonsoir à tous, :happy3:
Pourquoi est cyclique, alors que n'est pas cyclique ?
est un nombre premier.
Merci d'avance. :happy3:

Bonsoir,

J'espère ne pas raconter de bêtises ça fait longtemps l'algébre...

1 est générateur de

, ça pas de soucis.

Si

(je suppose avec la définition naturelle du + sur le produit cartésien) était cyclique, son ordre serait également p^4. si on suppose que l'élément a est générateur de ce groupe, on a pourtant p^3.a = 0, et donc on a une contradiction, a ne peut générer tout le groupe..

Damien

par **barbu23** » 11 Oct 2012, 23:47

DamX a écrit:Si (je suppose avec la définition naturelle du + sur le produit cartésien) était cyclique, son ordre serait également p^4. si on suppose que l'élément a est générateur de ce groupe, on a pourtant p^3.a = 0, et donc on a une contradiction, a ne peut générer tout le groupe..

Merci beaucoup. :happy3:
Si :

, alors :

, qu'est ce que cela signifie ? pourquoi

? Tu sais, je ne suis pas fort en théorie des groupes, c'est pourquoi, je pose des questions un peu stupides.
:hum:
On pose :

, alors

. Voilà, j'ai compris celle-ci.
Merci d'avance.

par **DamX** » 11 Oct 2012, 23:54

barbu23 a écrit:Merci beaucoup. :happy3:
Si : , alors : , qu'est ce que cela signifie ? pourquoi ? Tu sais, je ne suis pas fort en théorie des groupes, c'est pourquoi, je pose des questions un peu nulles. :hum:
Merci d'avance.

c'est valable pour tout élément de

. En effet un élément de ce groupe s'ecrit a=(k,l) avec k dans Z/p^3Z et l dans Z/pZ.
Et tu as

(si le + est défini classiquement sur le produit cartésien. Or tu as p^3k = 0 et de Meme p^3l = p^2(pl) = 0. donc

par **barbu23** » 11 Oct 2012, 23:56

Et pourquoi, il y'a contradiction ?
Je ne comprends pas bien. :happy3:

par **DamX** » 11 Oct 2012, 23:58

barbu23 a écrit:Et pourquoi, il y'a contradiction ?
Je ne comprends pas bien. :happy3:

Comme tout élément a vérifie p^3.a = 0, contient au plus p^3 éléments. Or ton groupe produit est de cardinal p^4. il n'y a donc aucun générateur possible.

par **barbu23** » 12 Oct 2012, 00:01

Merci beaucoup, c'est clair maintenant. :happy3:

par **DamX** » 12 Oct 2012, 00:04

barbu23 a écrit:Merci beaucoup, c'est clair maintenant. :happy3:

De rien :happy3:

par **wserdx** » 12 Oct 2012, 08:29

Je te propose de faire aussi le lien avec l'exercice que tu as posé il y a deux jours :

donc

n'est pas cyclique !

par **barbu23** » 12 Oct 2012, 10:00

Oui, c'est vrai, tu as raison @wserdx, merci beaucoup. :happy3:

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