Groupe et addition

[emdro]

Bonjour,

tu parles de f, morphisme de (Z,+,*) dans (A,+,*).

Donc l'ensemble de départ de f est bel et bien Z, l'anneau des entiers naturels bien connus, avec son vrai 1, son vrai +, etc.

Lorsqu'on écrit f(n)=f(1+1+...+1), le n, les 1 et les + sont bien les vrais n, 1 et + puisqu'ils sont dans l'ensemble de départ.

C'est au moment où on passe dans l'ensemble d'arrivée, en écrivant f(1)+f(1)+...+f(1) que les questions peuvent commencer à se poser, non ?

[emdro]

Lorsqu'on parle d'ensembles connus, ils sont généralement accompagnés de leurs lois usuelles.
Si je dis l'anneau Z (par abus de langage), je parle de (Z,+,*), + et * étant les "vraies" lois usuelles.
Si on précise (Z,+,*), c'est pareil.

Si on invente une autre loi de composition interne sur Z, il serait très maladroit de la noter + ! On inventera une autre notation, et on l'aura définie au préalable.

Pour répondre à ta question sur les anneaux remarquables, ce sera le cas à chaque fois qu'on a un ensemble connu (un ensemble de polynômes, de matrices....). Dans ce cas, sauf précision contraire, les lois sont les lois usuelles.

Quant à ta deuxième question, la réponse est non ! Si on parle d'un anneau (A,+,*), là, on se trouve dans le cas général. On apprécie de noter + la première loi et * la seconde, ce qui nous permet de conserver nos habitudes de calcul (essaie la distributivité en inversant la notation des lois pour voir !).
Mais comme l'anneau est quelconque, on ne dispose pas de lois usuelles cette fois. Donc le + et le * dans A ne sont pas identiques au + et au * dans Z.

D'ailleurs, cela n'aurait aucun sens : si A est un ensemble de choux-fleurs comment veux-tu additionner des choux-fleurs avec la même règle que l'addition des entiers ?! Cela ne nous empêche pas de définir une lci qui à tout couple de choux-fleurs en associe un, et de noter cette lci +. Mais ce n'est évidemment pas le + de quand tu étais petit(e) !

Pense à l'addition des vecteurs : cela se note +, mais il s'agit de les mettre bout à bout. Cela n'a pas grand chose à voir avec la somme des entiers, si ? Et malgré tout, cela ne pose pas de problème si on sait à quoi on a affaire.

L'ambiguïté est levée par le contexte. Ici , donc
f(1+1) : c'est un "vrai" + et le 1 un "vrai" 1
f(1)+f(1) = c'est le + de A qui n'a sans doute rien à voir avec l'addition de la maternelle.

[emdro]

A part le coup du choux-fleur, ou pour moi, ça peut être le même "+", je n'ai pas du comprendre ce que tu voulais dire par là ^^

On est bien d'accord que 3 choux-fleurs et 5 choux-fleurs font 8 choux-fleurs. Mais ce n'est pas ce que je voulais dire...

Si tu as trois choux-fleurs que tu appelles respectivement a,b,c (pour simplifier).
Tu peux considérer l'ensemble de tes choux-fleurs A={a,b,c}.

Tu peux chercher à définir une lci sur A en te donnant des règles comme par exemple qu'à (a,b) tu associes b. Et tu peux noter a+b=b.
a et b sont des choux-fleurs, et le résultat de la lci est encore un chou-fleur : b.

Ce + n'a évidemment rien à voir avec l'addition des petits enfants...

[emdro]

autant pour moi

Au temps pour moi :lol3: