[MPSI] Gram-Schimdt

[max]

Bonjour!

J'ai l'exercice suivant:

E= R3[X]

1) On considere sur R3[X] le produit scalaire défini par = integrale de 0 à 1 P(t)Q(t).dt

Vérifier que l'on définit ainsi effectivement un produit scalaire sur E.

2) Soit F = R2[X] (F inclu dans E).

Par orthogonalisation de Gram Schimdt, construire une base ORTHONORMALE de F à partir de (1,X,X²)

3) Calculer d(X^3 , F) où d est la distance euclidienne associée à <.|.>

J'ai répondu à la première question et démontré que c'était bien un produit scalaire (dans E, sym.,linéaire g/d, positivité, définie positivité..)

Mais à partir du petit 2) je bloque.

Je sais qu'il faut d'abord trouver une base orthogonale de F a partir de (1,X,X²) et ensuite ce n'est pas un problème pour ramener sa norme à 1, mais je n'arrive pas à trouver cette base orthogonale.

Pourriez vous m'aider?

Merci beaucoup

[Joker62]

Fait abstraction du fait que ce sont des polynomes, pense en vecteur.
Et c'est pareil que Gram-Shmidt avec des vecteurs de R^n

[Darko]

Comme Joker62 te l'a dit, il faut raisonner en terme de vecteur.

F est de dimension 3, il faut donc que tu trouve 3 vecteurs orthogonaux (on poura les normer à la fin).

D'abord tu prend un vecteur quelconque de F, par exemple 1.

Un vecteur P orthogonal à 1 vérifie <1|P>=0.
De plus P est un vecteur de F, ce qui nous donne une information sur sont degré.

Avec ça tu devrais pouvoir trouver un vecteur qui convient.

Pour le troisième vecteur il vaut mieux utiliser la formule de l'orthonormalisation de Gram-Schmidt.

[max]

Merci bcp mais en fait j'ai du mal à traduire les polynomes en vecteur.

Je suis d'accord, un polynome de R2X est un vecteur de dimension 3 de base canonique (1,X,X²) mais je n'arrive pas à traduire cela en vecteur pour utiliser gram schimdt.

Tu me dis <1|P>=0 ; mais à quoi est égal P ?

Et je ne vois pas comment "utiliser" l'intégrale qui définit ..

Merci

[Darko]

Ici, un polynome est un vecteur.

Par exemple le vecteur qui a pour coordonnées (1,1,1) dans la base canonique de R2[X] est X^2+X+1

Ce que l'on sait de P, c'est que c'est un polynome de degré inférieur (ou égal) à 2 et que <1|P>=integrale de 0 à 1 de 1.P(t).dt=0

Donc en appellant Q uneimitive de P, on a Q(1)-Q(0)=0 donc Q(1)=Q(0)

Tu connais un polynome Q qui vérifie ça?

Mais tu peux faire plus simple, en appliquant la formule de Gram-Schmidt:

P=X-.1
Ensuite il ne faut pas oublier de normer P.