Matrices symétriques, diagonalisation et Gram-schmidt

[mainfo]

Bonjour,

J'ai une petite question toute simple. J'ai bien compris qu'une matrice symétrique était diagonalisable orthogonalement et ce, même si les valeurs propres ne sont pas toutes distinctes. Dans ce cas, on utilise la méthode de Gram-Schmidt pour rendre la matrice P de A = PDP-1 orthogonale.

Aussi, j'ai compris que cette méthode servait à partir d'un ensemble linéairement indépendant base d'un sous-espace, à créer un ensemble orthogonal base du même sous-espace.

Par contre, je ne comprends pas pourquoi on ne peut diagonaliser orthogonalement n'importe quel matrice étant donné qu'on peut orthogonaliser n'importe quel ensemble de vecteurs.

Merci

[Nightmare]

Salut,

toute matrice symetrique reelle est diagonalisable ! Sur un corps quelconque ce n'est generalement pas vrai.

Pour ta question, qu'est-ce qui t'assure, lorsque tu orthognormalise ta base dans laquelle ta matrice est diagonale, qu'elle restera diagonale?

[alavacommejetepousse]

Bonjour,

J'ai une petite question toute simple. J'ai bien compris qu'une matrice symétrique était diagonalisable orthogonalement et ce, même si les valeurs propres ne sont pas toutes distinctes. Dans ce cas, on utilise la méthode de Gram-Schmidt pour rendre la matrice P de A = PDP-1 orthogonale.

bonjour

non on n utilise pas gram schmidt a priori on recolle directement des bon de chaque sous espace propre

pour f endo quelconque diagonalisable sur R
A la matrice de f ds une base e
e' une base de vecteur propres

D est la matrice de f ds e'
D diagonale

on orthonormalise e' par gram schmidt en e "

T : la matrice de passage de e' à e "

la matrice de f ds e " est

T^(-1) D T qui n est pas diagonale a priori

[mainfo]

Merci à vous deux!