Gradient

[legeniedesalpages]

Bonsoir, je bloque sur ce problème:

Soit une fonction différentiable en tout point, excepté peut être à l'origine.

Montrer que est constante sur les sphères de centrées à l'origine si, et seulement si, il existe une fonction différentiable (excepté peut être à l'origine) telle que pour tout .

Déjà pour l'implication directe je ne vois pas comment déterminer .

Merci pour votre aide.

[mathelot]

bjr,

pour te familiariser avec cet exercice, tu peux prendre une application
constante sur les sphères centrées en l'origine, il y en une d'évidente :zen: c'est le carré du rayon:



et appliquer la définition de à ce cas particulier pour voir ce qu'il en est.

[mathelot]

re,

rappel: "fabriquer ou définir une fonction, c'est associer à chaque réel x du domaine de définition un réel unique noté g(x)."

Soit . On définit la fonction de dans par:

avec

La définition du nombre g(r) est indépendante du n_uplet choisi. Elle est possible car les sphères contiennent au moins un point.

Après, c'est fini.

g est dérivable sur et pour tout i,

d'où:
pour tout i et j,


Ces relations assure que la définition de est cohérente:
pour tout i,

[Maxmau]

Dans un sens on utilise le fait que le gradient est orthogonal aux surfaces de niveau.
Dans l’autre sens
Soit x0 et x1 deux points quelconques de la sphère de rayon R centrée à l’origine. Il s’agit de montrer que f(x0) = f(x1)
Il existe une courbe x(t) (aussi régulière qu’il est souhaitable) tracée sur la sphère précédente et tq x(0) =x0 et x(1) =x1
L’hypothèse (gradient de f en x proportionnel à x ) implique que le produit scalaire
gradf (x(t)).x’(t) est nul d’où f(x(t)) = constante et la conclusion

[legeniedesalpages]

Bonjour, je reprends cet exo et il y a quelques points dans ce que tu as dit maxmau que je ne comprends pas:

L’hypothèse (gradient de f en x proportionnel à x ) implique que le produit scalaire
gradf (x(t)).x’(t) est nul d’où f(x(t)) = constante et la conclusion

Ce que je vois pour l'instant c'est que ,

mais je ne comprends pas pourquoi ce serait nul, et aussi pourquoi ? il y a un lien entre et ? :hein:

Merci.

[Edit]: c'est bon j'ai compris maintenant, merci à vous.

[Maxmau]

Bonjour, je reprends cet exo et il y a quelques points dans ce que tu as dit maxmau que je ne comprends pas:



Ce que je vois pour l'instant c'est que ,

mais je ne comprends pas pourquoi ce serait nul, et aussi pourquoi ? il y a un lien entre et ? :hein:

Merci.

[Edit]: c'est bon j'ai compris maintenant, merci à vous.

Bj Je viens juste de voir ta modif. je mets quand même ma réponse

J’explicite un peu plus :
Hyp : le gradient de f en x est proportionnel à x
Soit x0 et x1 deux points quelconques de la sphère de rayon R centrée à l’origine. Il s’agit de montrer que f(x0) = f(x1)
Il existe une courbe x(t) (aussi régulière qu’il est souhaitable) tracée sur la sphère précédente et tq x(0) =x0 et x(1) =x1
Le carré scalaire de x(t) est égal à R², soit x(t).x(t) = R². En dérivant cette égalité, on obtient : x(t).x’(t) =0. Ce dernier résultat et l’hypothèse impliquent que le produit scalaire
gradf (x(t)).x’(t) est nul d’où f(x(t)) = constante car
[f(x(t))]’ = gradf (x(t)).x’(t) (formule générale qui s’établit facilement).
En faisant t=0 et t=1, on obtient f(x0) = f(x1) et cela quels que soient les point x0 et x1 sur la sphère. D’où la conclusion

Il n’est pas utile de dériver l’égalité f(x(t)) = a(x(t))x(t).
Remarque : [f(x(t))]’ = (grada(x(t)).x’(t))x(t) + a(x(t))x’(t).

[legeniedesalpages]

ok maxmau, merci bien :)