Géométrie

[marion79]

Bonjour, j'ai un exercice de géométrie mais je n'arrive pas à le résoudre :
Dans le plan affine on se donne six points distincts deux à deux et on suppose : (AC') // (BA') // (CB') et (A'C) // (B'A) // (C'B)
Il faut montrer que (AA'), (BB') et (CC') sont soit coucourantes soit parallèles.
Je voulais partir du fait que deux droites sont parallèles, leurs vecteurs directeurs sont égaux mais je n'arrive pas à continuer.
Merci

[Maxmau]

Bonjour, j'ai un exercice de géométrie mais je n'arrive pas à le résoudre :
Dans le plan affine on se donne six points distincts deux à deux et on suppose : (AC') // (BA') // (CB') et (A'C) // (B'A) // (C'B)
Il faut montrer que (AA'), (BB') et (CC') sont soit coucourantes soit parallèles.
Je voulais partir du fait que deux droites sont parallèles, leurs vecteurs directeurs sont égaux mais je n'arrive pas à continuer.
Merci

Bj
pour faire une figure, trace 3 droites parallèles puis 3 autres droites parallèles d'une autre direction.
tu obtiens 9 points d'intersection. Place tes 6 points parmi les 9 de sorte que les hypothèses soient vérifiées. Ce sera plus clair.

[chan79]

Bj
pour faire une figure, trace 3 droites parallèles puis 3 autres droites parallèles d'une autre direction.
tu obtiens 9 points d'intersection. Place tes 6 points parmi les 9 de sorte que les hypothèses soient vérifiées. Ce sera plus clair.

En fixant un repère comme (A, AB', AC') et en posant A'(m,p) on arrive assez facilement à trouver les équations des droites (en fonction de m et p) et à montrer qu'elles sont concourantes ou parallèles mais il doit y avoir quelque chose de mieux :hum:
vois du côté de Desargues, peut-être

[Maxmau]

En fixant un repère comme (A, AB', AC') et en posant A'(m,p) on arrive assez facilement à trouver les équations des droites (en fonction de m et p) et à montrer qu'elles sont concourantes ou parallèles mais il doit y avoir quelque chose de mieux :hum:
vois du côté de Desargues, peut-être

La solution analytique n'est pas bien difficile
on peut aussi envisager une solution plus "géométrie pure" utilisant les propriétés de la projection centrale d'une droite sur une droite
Sans doute y-a-t'il encore d'autres points de vue

[Maxmau]

En fixant un repère comme (A, AB', AC') et en posant A'(m,p) on arrive assez facilement à trouver les équations des droites (en fonction de m et p) et à montrer qu'elles sont concourantes ou parallèles mais il doit y avoir quelque chose de mieux :hum:
vois du côté de Desargues, peut-être

Bj
C'est à vérifier mais je crois que c'est un cas particulier du dual du théorème de Pappus

[marion79]

je ne vois pas du tout comment faire :/

[Maxmau]

je ne vois pas du tout comment faire :/

PAPPUS dual

Le plan usuel est complété par ses points à l’infini

(C’A) , (A’B) , (B’C) concourantes en J (éventuellement à l’infini)
(A’C) , (B’A) , (C’B) concourantes en I ( éventuellement à l’infini)
Montrer que (AA’) , (BB’) , (CC’) concourantes ou parallèles

Solution:
O : point d’intersection des droites (C’B) et (CB’)
Soit p la projection de centre C’ de (CB’) sur ( BB’) ,
q la projection de centre A de (BB’) sur (BA’)
r la projection de (C’B) sur (BA’) de centre I
Les transformations qop et r conservent le birapport et coincident en 3 points ( O , B’ , J) , elles sont donc égales.
En particulier: [qop] ( C ) = r( C ) qui donne le résultat souhaité

Rem: Dans le cas I et J à l’infini on retrouve l’exo

maintenant pour ton exo tu as la solution analytique

[Maxmau]

je ne vois pas du tout comment faire :/

solution analytique de l'exo
O : point d’intersection des droites (C’B) et (CB’)
repère: (O,OC,CB) donc O(0,0) , C(1,0) , B(0,1) , A'(1,1) , B'(b,0) , C'(0,c) , A(b,c)
tu cherches les équations des droites (BB') et (CC') puis leur intersection. Tu vérifies que ce point d'intersection est aligné avce A et A'

rem: tu peux choisir un autre repère

[chan79]

Bonjour
Cet exercice relève de la géométrie projective.
Juste une remarque avec les vecteurs
[img][IMG]http://img685.imageshack.us/img685/9387/parall.png[/img][/IMG]
Si on pose U= V= W= K=
on remarque que
= W+V
= K+U
= W+K+U+W
donc = +
cela montre que si (AA') et (CC') sont parallèles, alors elles sont aussi parallèles à (BB')
si (AA') et (CC') se coupent en O, est-il possible de démontrer que et sont colinéaires, sans passer par la géométrie projective ???
O serait-il le barycentre de B et B' avec certains coefficients ?

[Maxmau]

Bonjour
Cet exercice relève de la géométrie projective.
Juste une remarque avec les vecteurs
[img][IMG]http://img685.imageshack.us/img685/9387/parall.png[/img][/IMG]
Si on pose U= V= W= K=
on remarque que
= W+V
= K+U
= W+K+U+W
donc = +
cela montre que si (AA') et (CC') sont parallèles, alors elles sont aussi parallèles à (BB')
si (AA') et (CC') se coupent en O, est-il possible de démontrer que et sont colinéaires, sans passer par la géométrie projective ???
O serait-il le barycentre de B et B' avec certains coefficients ?

OUI forcément et la méthode la plus simple pour le voir est de choisir un bon repère
Pour une solution vectorielle, tu peux exprimer K en fonction de W et U en fonction de V.. etc..
mais je pense que ça reviendra à copier une solution analytique

[chan79]

OUI forcément et la méthode la plus simple pour le voir est de choisir un bon repère
Pour une solution vectorielle, tu peux exprimer K en fonction de W et U en fonction de V.. etc..
mais je pense que ça reviendra à copier une solution analytique

Merci bien, Maxmau