On a trois points A,B,C non alignés. P sur AC tq AP=AC/3. Q sur BC tq BQ=BC/3. On note P' le milieu de PC et Q' le milieu de QC.
Ce à quoi j'ai répondu:
1. Exprimer P'Q'(vecteur) en fonction de AB(vecteur). En déduire que P' =/= Q'.
=> Assez simple, on prouve rapidement qu'il y a un rapport d'un tiers. Comme A est différent de B, le vecteur AB est non nul, donc P' et Q' sont différents.
2. Soit M n'appartenant pas à (P'Q')
a) Mq (MP') et (AB) sont sécantes, on note l'intersection D. Mq (MQ') et (AB) sont sécantes, on note l'intersection E.
=> Là encore assez simple. Comme (P'Q') est parallèle à (AB) (on a prouvé la colinéarité des vecteurs), le seul moyen que (MP') ou (MQ') ne soient pa sécants avec (AB) serait que M appartienne à (P'Q'). Or par hypothèse c'est faux.
Là ou je coince:
b) Mq P'Q'DE est un parallélogramme <=> M appartient à (PQ)
Sur la figure, on voit bien que si M appartient à la droite, ça donne un parallélogramme. Par contre, je n'arrive pas à le prouver... En fait, je n'arrive pas à mettre ces deux éléments en relation. J'ai essayé les deux implications mais sans succès. On a comme outils les bases de l'algèbre linéaire, les trois équivalences définissant le parallélogrammes (les côtés deux à deux parallèles <=> les vecteurs deux à deux égaux<=> les milieux des diagonales coïncident). Je précise qu'on a pas le droit à Thalès (on redéfinit toute la géométrie et on l'a "pas encore vu")
Merci d'avance pour vos différentes pistes!
