Géométrie hyper dur

[abbadnordine]

bonsoir
un petit exercice de L 2 j'ai fais que la première question aidez moi svp

( C est un cone de révolution par rapport a laxe Oz)

C: z²=x²+y² P= by + cz +d =0

W (-ad,-bd,-cd) est le projeté orthogonal du point O(0,0,0) su P

le vecteur n (0,b,c ) avec b²+c² = 1

1. Soit u1= (1;0;0) et u2= (0;-c; b) deux vecteurs . Montrer que R = (W ;u1;u2) est un repère orthonormé de P.

2. Soit M un point de P de coordonnées (X; Y ) dans le repère R. Donner les coordonnées
(x; y; z) de M dans le repère canonique de R3

3. En déduire une équation de l’intersection P avec C dans le repère R.

4. Dans le cas où b² = c² , montrer que lintersection P avec C a pour équation X² + 2dY = 0 ou X²-2dY=0 et en déduire la nature de cette intersection en fonction de d.

Nous nous plaçons désormais dans le cas où b² -c² différent de 0 . Soit W1 le point de P dont les
coordonnées dans le repère R sont (0;(2bcd)/(b²-c²)). Soit R1 le repère (W1;u1;u2).


5. Montrer que lintersection P avec C a pour équation dans le repère R1
:
X'²-(b²-c²)Y'² +d²/(b²-c²)= 0


6. Conclure que lintersection P avec C est une conique de centre W1 et dont les axes ont pour direction u1 et u2. Déterminer en fonction du signe de b²-c² et de la valeur de 'd' la nature de cette conique et, lorsque c’est une hyperbole, préciser ses asymptotes.